华南理工大学 线性代数与解析几何 习题 (40)(2)

序。一个排列中逆序的总数称为该排列的逆序数。

排列j1j2 jn的逆序数通常记为 (j1j2 jn)。记 k表示排列j1j2 jn中数字k前面比k大的数的个数，则有 (j1j2 jn) 1 2 n，其中 n 0。例如 (45321) 4 3 2 9， (12 n) 0。

定义3：逆序数为奇（偶）数的排列，称为奇（偶）排列。 例： (45321)= 4+3+2=9，该排列为奇排列； (12 n)=0，该排列为偶排列。 把排列中某两个位置上的数进行交换得到另一排列，这样一个变换称为对换。对于对换，有下面主要定理：

定理1：对换改变排列的奇偶性。 证明：分两种情形来讨论。

1）对换的两个数相邻，设排列为 jk 。当j k时，记

( jk ) j k ，则

( kj ) ( j 1) k 1；

当j k时，同理可得 ( kj ) ( jk ) 1。从而定理成立。

2）对换为一般情形，设排列为： ji1i2 isk 。

先将j依次与i1,i2, ,is对换变为 i1i2 isjk ，经过s次对换，再将k依次与

j,i1,i2, ,is对换变为 ki1i2 isj ，经过了s 1次对换。故排列的对换共经过了

s (s 1) 2s 1次的相邻对换，从而定理成立。

三、行列式定义

定义4：设aij(i,j 1,2, ,n)是n2个数（也称为元素），定义n阶行列式

a11a21 an1

其中

j1j2 jn

a12 a1n

( 1) (j j)aja2j aj jj j

1

n

a22 a2n an2 ann

11

2

nn

。

12n

表示对所有的n级排列求和。

说明：1. n阶行列式是一个数，由n!项的代数和所构成。

2. 除符号外，每项为n个数的乘积，这n个数取自于不同的行和列。 3. 乘积a1j1a2j2 anjn的n个数（元素）（从左到右）行数按自然顺序由小到