华南理工大学 线性代数与解析几何 习题 (40)(5)

kai1

证明：左边

12

n

1j1

kai2 kain kai1

ai2 ain。

( 1) (jj j)a jj j

12

n

(kaiji) anjn

k

jj j

12

( 1) (j1j2 jn)a1j1 aiji anjn ＝右边。

n

推论2：某行（列）元素全为0，则行列式为0。

推论3：两行（列）元素成比例，则行列式为0。 性质4：（“加法”规则）

a11a12 a1n

an1a11 bi1

an1

a12bi2

an2 a1n

an2 ann

a11 an1

12

n

bi1 ci1bi2 ci2 bin cin

anna12ci2

a1n cin an2 ann

1j1

bin ci1

证明：左边

( 1) (jj j)a jj j

12

n

(aij bij) anjn

i

i

jj j

12

( 1) (j1j2 jn)[a1j1 aji anjn a1j1 biji anjn]＝右边。

n

性质5：某一行（列）元素的k倍加到另一行（列）对应元素上，行列式不

ai1

ai2

ain

ai1

ai2

ain

变。即

aj1 kai1

aj2 kai2 ajn kainaj1aj2 ajn

证明：由性质4和性质3的推论立即得证。

在计算行列式时，可利用性质2和性质5把行列式化为上（下）三角行列式。通常用记号ri rj(ci cj)表示互换行列式的第i行（列）和第j行（列）；用

rj kri表示第i行元素的k倍加到第j行对应的元素上。类似地，cj kci表示列