华南理工大学 线性代数与解析几何 习题 (40)(4)

§2 行列式的性质

性质1：行列互换，行列式不变，即

a11a21 an1

a12 a1n

a11a12 a1n

a21 an1a22 an2 a2n ann

。

a22 a2n an2 ann

注：左边行列式称为右边行列式的转置行列式。

证明从略。

性质1表明行列式中行与列的地位是对称的，因此后面有关行的性质，对列也能成立。

性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。即

as1as2 asn at1

at2 atn

at1as1

at2 atn as1 as1

证明：记右边行列式i行j列的元素为bij，则

左边

j1j2 jn

( 1) (j1j2 jn) asjs atjt。

( 1) ( js jt ) bsjs btjt

右边

j1j2 jn

j1j2 jn

( 1) ( js jt ) atjs asjt

j1j2 jn

( 1) ( jt js ) asjt atjs ＝左边。

推论1：两行（列）元素相同，行列式等于0。

as1

as2 asn

，交换元素相同的两行，行列式不变；另由at2 atn

证明：记D

at1

性质2行列式变号，从而D D，即D 0。

性质3：某行（列）的各元素如有公因数k，则可把k提出行列式符号外，即