华南理工大学 线性代数与解析几何 习题 (40)(9)

2）3A13 7A23 5A33 5A43。

解：1）代数余子式是第3列的，它们的系数是第1列的，从而，

A13 2A23 A33 3A43 0

2）因为 3A13 7A23 5A33 5A43

＝(1 2)A13 (2 5)A23 ( 1 6)A33 (3 2)A43 =(1A13 2A23 1A33 3A43) (2A13 5A23 6A33 2A43) =0+0=0

22 31 10253 10 3 ( 1) 120 3A13 7A23 5A33 5A43 10A33＝

32

320

120

1

例9：计算x1

x121

解：原式 x1

c3 c1

x12

c2 c1

1x22x21x3 2x30x2 x12x2 x12

11

x3 x1 (x2 x1)(x3 x1)

x2 x1x x12

x3 x12

＝(x2 x1)(x3 x1)(x3 x2)。 利用递推或数学归纳法可以得到：

11

x1x2

n 1

x1n 1x2 1 xn

(xj xi) 。

1 i j n

n 1

xn

上述行列式称为范德蒙（Vandermonde，735-1796，法）行列式，这个结果以后可以直接利用。

有了按行（列）展开定理，下面介绍介绍n元一次方程组（3）解的结论。 定理3：（克莱姆(Cramer，1704－1752，瑞士)法则）方程组（3）的系数行

a11

列式D

a12 a1n

0，则（3）有唯一解xj Dj/D j 1,2, ,n，其中

a21 an1

a22 a2n an2 ann

Dj是将D中第j列换成常数列后得到的行列式。

证明：将方程组（3）中的n个方程依次两边乘以A11,A21, ,An1，再把它们