第3章_解线性方程组的迭代法_962109547(9)

hao

其中e

(0)

x

(0)

x与k无关，所以迭代法（3）收敛相当于

(k)

*

lime

k

limBe

k

k(0)

0 e

(0)

R

n

定理2.3 下面三个命题等价 （1） 迭代法 x(k 1) Bx（2） (B) 1

（3）

至少存在一种从属的矩阵范数 ， 使得B 1。

证明：命题（1）等价于limBe

k

kk

(0)k(

f 收敛

)

0, e

(0)

R

n

根据定理2.1 这条件等价于limB 0。由定理2.2，

k

此定理证得最常用的定理叙述如下：

定理2.4 迭代法 x对任 x

(0)

n

(k 1)

Bx

k(

f,k 0,1 , ；

)

R收敛的充分必要条件是 (B) 1。

实际判别一个迭代法是否收敛，条件 (B) 1较难 验证。但 BB

1,B

,B可以用B的元素来表示，所以用

1

1来作为收敛的充分条件较为方便。

2 2

11

21

b,

1 2 3

1

例子2.4 Ax b 其中 A 1

2

试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程 组的收敛性 解

A D L U,

1

D 0

0

010

0 0

0,L 1

1 2

00 2

0 0

0,U 0

0 0

200

2

1 0

BJ D(L

1

22 0

U) 10 1

0 2 2