第3章_解线性方程组的迭代法_962109547(11)
时间：2025-06-09
hao
I BJ
1 12
1212
121
3
54
0, 1 0; 2,3
2
(BJ)
2
1 ， Jacobi迭代不收敛
G (D L)U
1 0 2
1
0 20
0
0112
0 0 0
1
2
D L 1
1
11
2
1 1
;(D L) 2 4
2 0
0 4 2
1
2 1 1
G (D L)U
2 0
0112
0 0 0
0 0 0
100
0 1
1 0 0
0
12 12
1
2 1 2 1 2
I G 0
012
1212
121212 0,
12
1 0, 2,3
(G) 1。 Gauss-Seidel迭代收敛
例2.6 设方程组
x1 ax2 b1ax1 2x2 b2,
a R
（1） 写出解方程组的Jacobi迭代矩阵，讨论迭代收敛条件。 （2） 写出解方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵，讨论迭代 收敛条件。 解（1）
1
A
a
a ,2
1D
0
0 0 ,L 2 a
0
0
0U
0
a 0
hao
1
1
BJ D(L U)
0 0 01 a2
2
0
a a0
2 a 0
I BJ a
2a
0,
2
a
2
0, 1
2
(BJ) Jacobi迭代收敛充要条件为 (BJ) 1，
即
a （2）
0 2
1
1
G (D L)U
a
1 0 0 a 1 2 0 2 a0 0 1 0
0
a 0 0
a
2 a 2
I G
a
a
2
(
a
2
2
2
);
1 0, 2
a
2
2
(G)
a
2
2
， 即Gauss-Seidel迭代收敛的充要条件为
(G) 1， 即
a
（III）迭代的误差估计
*
定理2.5 设x是方程组 x Bx f的唯一解，
为
R上的向量范数，对应的从属矩阵范数B 1。那么由
x
(k 1)
n
Bx
(k)
f
产生的向量序列 x x
(k)
(k)
满足
x
B1 BB
k
x
k()
x
k(
，
1)
x
k
x
*
1 B
x
1
x
0
证明： x Bx f x
(k 1)
**
Bx
k(
f
)
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