第3章_解线性方程组的迭代法_962109547(19)

hao

上述Gauss-Seidel迭代结果x

而仅作为中间值。记为x

(k 1)

(k 1)

不作为此次迭代计算值，

(k 1)

，最后结果为x

与上次结果x

x

由于x

(k 1)

i

(k 1)

(k)

的加权平均

(k 1)

(k 1)

x (1 )x

(k)

是Gauss-Seidel迭代结果，因此上式写成分量形式有

1aii

i 1

n

x

[bi

a

j 1

xij

(k 1)

j

j i 1

aijxj] (1 )xi

(k)(k)

i 1,2, ,n 推导SOR的矩阵形式

i 1

n

ij

aiix

(k 1)i

[bi

a

j 1

x

(k 1)j

j i 1

aijxj] (1 )aiixi

(k)(k)

Dx

(k 1)

(b Lx

(k 1)

(k 1)

Ux

(k)

) (1 )Dx

(k)

(k)

(D L)x

x

(k 1)

b [ U (1 )D]x

(k)

1

(D L)[(1 )D U)]x

1

(D L)b

SOR的迭代法的迭代矩阵

L (D L)[(1 )D U]

1

定理3.1 （Kahan） 设 A R那么对所有实数 ，有

n n

，其对角元素皆非零。

(L ) 1

证： A D L U，其中L为严格下三角阵，U为 严格上三角阵， D L非奇异

L (D L)[(1 )D U]

n

1

对任矩阵 B R

n n

有 detB

(B)

i

i 1

设 1, 2, , n为L 的n个特征值，那么有