第3章_解线性方程组的迭代法_962109547(13)

hao

n

aii

j 1j i

aij,

i 1,2, ,n

则称A是严格对角占优

（2）如果A的元素满足

n

aii

j 1j i

aij,

i 1,2, ,n

且上式中至少有一个不等号严格成立，那么称A为（弱） 对角占优

定理2.6 设 A Rn n为严格对角占优，那么A是非 奇异的

证：用反证法。设A是奇异阵，那么存在 x 0使得

Ax 0

记 xk maxj

j

,Ax

n

的第k个方程 0

akkxk akjxj

j 1

j k

n

akk xk

j 1j k

akj xj

n

akk

j 1j k

akj

xjxk

n

j 1j k

akj

这与A严格对角占优矛盾。 A非奇异

定理2.7 Ax b,A R

n n

,b R

n

设A严格对角占优。那么求解Ax b的Jacobi迭代和 Gauss-Seidel迭代均收敛。 证明： Jacobi迭代的迭代矩阵

BJ D

1

(L U) I D

1

A

其中 A D L U

n

BJ

max

1 i n

j 1

bij max

1 i n

j i

aijaii

1

(BJ) BJ

1