第3章_解线性方程组的迭代法_962109547(7)

hao

定理2.1 limA

k

(k)

0充分必要条件是 x 0, x R

n

limA

k

(k)

证：必要性。对任一种矩阵算子范数 有

A

(k)

x A

(k)

x

limA

k

(k)

x 0

充分性， 取 x ej，其第j个分量为1，其它分量为 零的向量。那么limA

k

(k)

ej 0表示A

(k)

的第j列各元素

(k)

极限为零，取 j 1,2, ,n 表示A的全部元素极限为零。

n

A

(k)

A

max

1 i n

j 1

aij aij 0(k )

(k)

aij

(k)

aij(k )

(k)

limA

k

A aij

n n

(k)

aij

定理2.2 设 B R（1） limB 0

k

k

， 那么下面三个命题等价

（2） (B) 1

（3）至少存在一种从属的矩阵范数 ，使B 1。 证明 (1)

(2) 用反证法：设B有一特征值 ，

1。那么存在特征向量x，x 0

Bx x;

Bx x;

2

2

2

Bx x

2

Bx x

Bx x;

k

k

Bx

k

k

k

x

所以当k ， Bx 不收敛到零向量。