第3章_解线性方程组的迭代法_962109547(20)

hao

1 2 n detL

1

detD( L)

det [ (1D )U

]

d et[I( 1

]

)]

1 detD det [ (1D )

(1 n) (L ) ma xi

1 i n

1

推论。如果求解Ax b的SOR方法收敛，那么有 0 2

证明：SOR收敛， (L ) 1

0 2

定理3.2 （Ostrowski-Reich）设 A Rn n，A对称正定， 且0 2，那么求解Ax b的SOR方法收敛。 证明 设 ,x分别为L 的特征值和特征向量。A对称 但L 不是对称的。因此 ,x可以是复数和复向量。

L x x

(D L)[(1 )D U]x x ((1 )D U)x (D L)x

1

A对称，A D L U,L U，用x对上式作内积有

(1 )(Dx,x) (Ux,x) (Dx,x) (Lx,x)

T

A对称正定，D diag[a11a22 ann],aii 0，D对称正定 记 P (Dx,x) 有 P 0

i记 (Lx,x)

而

*

*

(Lx,x ) i

*

*

T

*

(Lx,x) (xLx) (Lx)x xLx xUx

(Ux,x) i

从而得出