一阶直线倒立摆系统的可控性研究(7)

在式（2-3）中，其各项物理意义如下：

右侧第一项叫做终端代价，意义是对终端状态提出一个合乎需要的要求，即在给定的终端时间tf到将要来时，达到系统的终态e(tf)接近预定状态的目的。

右侧的第二项是综合指标。其中2 1eT(t)Q(t)e(t)表示对于所有的t [t0,tf]状态x(t)的要求，整个控制时间内系统的给定状态与实际状态之间的综合误差将用它作为标准。假定x(t)表示误差矢量，那么该项为用来检测误差大小的代价函数。在x(t)为标量函数的情况下，该项积分与典控制理论中给定输入量与被控制量之间误差的平方积分一样。显然，此积分项与系统的控制性能成反比，越小越好。

右侧第二项中的第二项是对控制过程中总能量的一个限制，表示动态过程中对控制的约束或要求。假定u(t)表示U或I的函数，那么2 1uT(t)R(t)u(t)与功率成正比，那么u(t)可以看做是在[t0,tf]区间内所消耗的控制能量。因此，该项表示衡量消耗能量的大小。

右侧第二项中的第一项和第二项实际上是相互制约的。其中一项减小必然会增大另一项。也就是说，如果为了节省控制能量的消耗，必须减少对控制性能的要求。所以，求这俩项和的最小值，实际上是求取在系统最优前提下的折衷。但即使这样，也会出现侧重那一方面的问题，我们可以经过对Q(t)和R(t)的选择来体现。举个例子，要想增加控制系统的快速响应特性，那么必须提高Q(t)中某一元素的比重；同理，要想降低控制量的幅值和它所引起的能量消耗，那么就得增大R(t)中某一元素的比重。

在二次型性能指标中引入系数1/2，将会便于计算。

2.2 线性二次最优控制问题的三种类型

线性二次型最优控制问题有三种调节器问题，下面我们将会分别进行简单的介绍。

2.2.1 状态调节器问题

状态调节器问题：系统受到外部的扰动或其它的因素影响时，将偏离了给定的平衡状态，这时对系统进行控制，而使系统恢复或接近于平衡状态。状态调节器问题的扰动一般是初始状态矢量，状态调节器问题的平衡状态一般是零状态。此时，此类问题就变成求解最优控制问题，使系统在时间[t0,tf]内从初始状态转移到零状态，并且取性能指标的最小值。

在式（2-1）、（2-2）中，若