一阶直线倒立摆系统的可控性研究(6)

第二章 线性二次型最优控制系统

2.1 线性二次型问题的概念

线性二次型问题的定义：若系统是线性的，性能指标是状态变量和控制变量的二次函数，则把这种动态系统的最优控制问题称为线性二次型最优控制问题，简称线性二次型问题。对于线性二次型问题的研究具有重要的工程背景，此外它还可以检测系统的诸多性能指标。作为现代控制理论及应用中最重要的成果之一，它让控制理论界研究人员投入很大精力进行深度研究，使其得到了较大发展，其中对线性二次型最优反馈系统的设计方案、对调节器的性质与作用等多方面的研究，得到了许多有益的成果。它有以下两个特点：

（1）线性二次最优控制问题是多个输入-多个输出的控制问题，特例：单输入-单输出的情况；

（2）线性二次最优控制问题的系统性能指标具有很好的多变性与综合性。

2.1.1 线性二次型问题的提出

设线性时变系统的状态方程为：

x(t) A(t)x(t) B(t)u(t) （2-1）

.

y(t)=C(t)x(t)

式中，x(t)为n维状态矢量；y(t)为l维输出向量；u(t)为m维控制矢量

m n ；A(t)为n n维时变矩阵；B(t)为n m维时变矩阵。假定控制矢量u(t)是

不受约定的。

若另yl(t)表示l维输出向量，则：

e(t) yl(t) y(t) （2-2） 称为误差向量。

要求最优控制u (t)，是下列二次型性能指标极小：

1T1tfTT

J e(tf)Fe(tf) e(t)Q(t)e(t) u(t)R(t)u(t)dt （2-3）

22t0

在式（2-3）中，F为n n维半正定对称常数的终端加权矩阵；Q(t)为n n维半正定对称时变的状态加权矩阵R(t)为m m维正定对称时变的控制加权矩阵；始端时间t0及终端时间tf固定。

假定A(t)、B(t)、Q(t)、R(t)和的各参数均是时间t的连续函数，且全部矩阵函数和R 1(t)都是有界的。