一阶直线倒立摆系统的可控性研究(14)

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Jθ Fylsinθ Fxlcosθ （4-1）

（2）摆杆水平方向运动方程：

d2

Fx m2 lsinθ) （4-2）

dt

（3）摆杆垂直方向运动方程：

d2

Fy mg m2 （4-3）

dt

（4）小车水平方向运动方程：

d2x

F Fx m02 （4-4）

dt 由式（4-2）和式（4-4）得：

(m0 m)x ml(cosθ θ sinθ θ) F （4-5） 由式（4-1）、（4-2）和（4-3）得：

..

..

.

2

θ mlcosθ x mlgsinθ (J ml)（4-6） 由式（4-5）、（4-6）得：

.

. ..(J ml2)F lm(J ml2)sinθ θ2 m2l2gsinθcosθ x 2222 (J ml)(m m) mlcosθ0 （4-7）

.

..

mlcosθ F m2l2sinθcosθ θ2 (m0 m)mlgsinθ θ 2222 mlcosθ (m m)(J ml)0

2

....

因为摆杆是均匀质杆，取摆杆单位长度的质量为 1，取杆上一个微分段dx，则转动惯量有：

J

ml2

3

式（4-7）为非线性微分方程组。为了便于应用经典控制理论对该系统进行设计，必须将其简化为线性定常的系统模型。

若只考虑θ在其工作点θθ<10 ）的微小变化，则有以下0 0附近（-10 <假定：

θ 0，sinθ θ，cosθ 1

则系统精确模式（4-7）可简化为：

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