常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答(20)

常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

则有

dz(1 z)(z 2)

，此方程为变量分离方程， n=

dnz+1

分离变量并积分得：ln

(z 1)22 z

3

=c+lnn，

还原变量并化简得：(x2 y2+1)2=c( 2x2+y2 3)3.

dy2x3+3xy2 7x

(４)． =2

3

dx3xy+2y 8y

2ydy2x2+3y2 7

，令u=y2,v=x2, 解：原方程即为=2

2

2xdx3x+2y 8

则

2v+3u 7=0 u=1 m=u 1du2v+3u 7

，由 ， 令 ， =

dv3v+2u 8 3v+2u+8=0 v=2 n=v 2

dm2n+3mm

，令=z，可将方程化为变量分离形方程， =

dn3n+2mn

则

(

3+2zdn31+z1

，两边积分得：)=dzln ln z2=lnn+c， 2

n41 z22 2z

还原变量并化简得：(x2 y2 1)5=c(x2+y2 3)．

3. 求解下列微分方程： (１)．y′= y2

1； 4x2

dz11=( z2+z ， dxx4

解：令z=xy， 则原方程可化为：

11

时，即xy≠时 22

1dx

方程为 ，此方程为变量分离方程， dz=

12x(z )

2

1

两边积分得：=lnx+c

1z 2z≠

还原变量并化简得：y=

11+； 2xxlnx+cx

当z=

11时，y=是方程的特解． 22x