常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答(18)

常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

习题 2-4

1. 求解下列微分方程： (１)y′=

2y x

；

2x y

du2u 1

， +u=

dx2 u

解：令y=ux，则原方程化为x

即

2 udx1 u12

， 积分得：=duln lnu =lnx+c 2

x1+u2u 1

还原变量并化简得：(y x)=c(x+y)3 (２)y′=

2y x+5；

2x y 4

2y x+5=0 x=1

得

2x y 4=0y= 2

v=y+2， 则有

解：由

令u=x 1,

dv2v u

，由第一题的结果知此方程解为(v u)=c(u+v)3， =

du2u v

还原变量并化简得： y x+3=c(x+y+1)3. (３)y′=

x+2y+1

；

2x+4y 1

dvdyv+1

， =1+2=1+2

dxdx2v 1

解：令v=x+2y， 则即

dv4v+1

，此方程为变量分离方程， =

dx2v 1

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分离变量并积分得：v ln4v+=x+c，

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还原变量并化简得：8y 4x 3ln4x+8y+=c．

(４)y′=xy xy．

解：①当y≠0时，方程两边同时乘以 2y 3 ,则 2y 3y′= 2x3+2xy 2，令

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