常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答(19)

常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

dzx23

则 由公式得：z=ce+x2+1z=y，=2xz 2x,此方程为一阶线性方程，

dx

2

还原变量得：y=(ce

2

x2

+x2+1) 1.

②y=0也是方程的解．

2. 利用适当的变换，求解下列方程： (１)y′=cos(x y)；

dudy

=1 cosu， =1

dxdxdudu

①当cosu≠1时，有=dx， 即 =dx，

u1 cosu

2sin2

2

1u

两边积分得：ctg=x+c

22

x yx yx y

． 还原变量化简得：cos=2xsin+csin

222

解：令u=x y，则

②当cosu=1时，即y=x+2kπ(k∈Z)也是方程的解．

(２)(3uv+v)du+(u+uv)dv=0；

解：方程两边同时乘以u则原方程化为：

2

2

(3u2v+uv2)du+(u3+u2v)dv=0，

即 (3uvdu+udv)+(uvdu+uvdv)=0 此方程为全微分方程，则原方程的解为：u3v+

2

3

2

2

122

uv=c． 2

dyx2

=2x(2y )； (３)(x+y+3)dxy

2

2

2ydy4y2 2x22

解：原方程即为 ，令=2x=v,2

2xdxx+y+3

y2=u，

u= 1 4u 2v=0 m=u+1du4u 2v

,由 得 ， 令 ，则有则=

v= 2u+v+3=0n=v+2dvu+v+3

mdm4m 2ndmdz4z 2

令=z，则m=zn， ， ==n+z=

ndnm+ndndnz+1