常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答(14)

常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

(４)

dy1=+xtgy； dxcosy

解：原方程即为：

dy1siny

=+x

dxcosycosy

即

cosydydz=1+xsiny. 令z=siny， 则 =xz+1． dxdx

a(s)ds

x

∫3. 设y=φ(x)满足微分不等式y′+a(x)y≤0,(x≥0)．求证：φ(x)≤φ(0)e0

(x≥0)

,

∫a(s)ds 则有

证明：将y′+a(x)y≤0两边同乘e0

a(s)dsa(s)dse∫0y′+e∫0a(x)y≤0

x

x

x

即

d(e∫0

x

x

a(s)ds

φ(x))

dx

≤0 从０到x积分得：

a(s)dse∫0φ(x)≤φ(0)，得证．

4. 用常数变易法求解非齐次线性方程

dy

+p(x)y=q(x)． dx

p(x)dx

的解，将其代入方程则有 解：设方程有形如y=c(x)e∫

p(x)dx

的解，将其代入方程则有 解：设方程有形如y=c(x)e∫

p(x)dx p(x)dxdc(x) ∫p(x)dx

e c(x)p(x)e∫+c(x)p(x)e∫=q(x) dx

p(x)dxdc(x) ∫p(x)dx

即+c， e=q(x)， 则c(x)=∫q(x)e∫

dx

p(x)dx p(x)dx

所以方程的解为y=e∫(q(x)e∫+c).

∫

5. 考虑方程

dy

+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)都是以ω>0为周期的连续函数． dx

试证：(１)若q(x)=0，则方程的任一非零解以ω为周期 p(x)的平均值

=

1

ω

∫

ω

p(x)dx=0．

(２)若q(x)≠0，则方程的有唯一的ω周期解 ≠0．试求出此解．