常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

习题 2-1

判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解： １．(3x2 1)dx+(2x+1)dy=0

解：P(x,y)=3x2 1，Q(x,y)=2x+1， 则

２．(x+2y)dx+(2x+y)dy=0

解：P(x,y)=x+2y, Q(x,y)=2x y,

Q P P Q

即，原方程不是恰当方程． =2，所以 =0，≠

x y y x

则

Q P P Q

，即 原方程为恰当方程 =2, 所以=2,=

x y y x

则xdx+(2ydx+2xdy) ydy=0,

x2y2

两边积分得：+2xy =C.

22

3．(ax+by)dx+(bx+cy)dy=0 (a,b和c为常数)．

解：P(x,y)=ax+by, Q(x,y)=bx+cy,

则

Q P P Q

，即 原方程为恰当方程 =b, 所以=b,=

x y y x

则axdx+（）bydx+bxdy+cydy=0,

ax2cy2

两边积分得：+bxy+=C.

22

4．(ax by)dx+(bx cy)dy=0

(b≠0)

解：P(x,y)=ax by, Q(x,y)=bx cy,

则

Q P Q P

，即，原方程不为恰当方程 =b, 因为 b≠0, 所以≠= b,

x y x y