常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答(21)

常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

(２)．x2y′=x2y2+xy+1；

解：原方程即为：y′=y2+令z=xy，则

y1+2， xx

dz1

=(z+1)2，此方程为变量分离方程， dxx

1

分离变量积分得： =lnx+c，

z+1

还原变量并化简得：y=

11 ． xxlnx+cx

4. 试把二阶微分方程y′′+p(x)y′+q(x)y=0化为一个黎卡提方程．

解：令y=e∫

udx

， 则y′=ue∫

udx

udx

，y′′=ue∫

2

udx

udx

+u′e∫

udx

udx

，代入原方程可得：

udx

y′′+p(x)y′+q(x)y=u2e∫+u′e∫＋p(x)ue∫+q(x)e∫

＝０，

即有：u2+u′+p(x)u+q(x)=0， 此方程为一个黎卡提方程．

5. 求一曲线，使得过这一曲线上任一点的切线与该点向径的夹角等于45 ．

解：设此曲线为y=y(x)，由题意得：

dyy

=tg45 =1，化简得：dy=x+y， dyydxx y1+

dxx

y1

此方程为齐次方程，解之得：arctg ln(x2+y2)=c．

x2

6. 探照灯的反光镜(旋转面)应具有何种形状，才能使点光源发射的光束反射成平行线束？

解：取点光源所在处为坐标原点，而x轴平行于光的反射方向，建立三维坐标系．

设所求曲面由曲线

y=f(x)

绕x轴旋转而成,则求反射镜面问题归结为求 xy 平面上

z=0

的曲线y=f(x)的问题．由题意及光的反射定律，可得到函数y=f(x)所应满足的微分方程式：

dyy

，此方程为齐次方程， =

22dxx+x+y