常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答(12)

常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

习题 2-3

1. 求解微分方程： (１)

dy

dx

+2y=xe x; 解：p(x)=2, q(x)=xe x，

由公式得：y=e 2x(c+∫

xe xe2xdx)=ce 2x+xe x e x，

原方程的解为：y=ce 2x+xe x e x． (２)

dy

dx

+ytgx=sin2x； 解：p(x)=tgx, q(x)=sin2x，

∫p(x)dx=∫tgxdx=∫

sinxcosx=∫ d(cosx)

cosx

= lncosx+c，y=e

lncosx

(c+∫sin2xe

lncosx

dx)

=cosx(c+∫sin2x

)=cosx(c 2cosx)=ccosx 2cos2cosx

x

原方程的解为：y=ccosx 2cos2

x．

(３)x

dy

dx+2y=sinx, y(π)=1π

； 解：原方程即为：dy2sinx

2sinxdx+xy=

x，则p(x)=x,q(x)=x，∫p(x)dx=∫2x=lnx2

+c， 则有 y=e lnx2

(c+∫sinxlnx2

x

e)

=

1

x2(c+∫xsinxdx)

=1

x

2(c xcosx+sinx)因为y(π)=

1

π

， 所以c=0．

原方程满足初值问题的解为：y= 1xcosx+1

x

2sinx ． (４)

dy

dx 11 x

2y=1+x，y(0)=1； 则有