浙江大学历年微积分(1)试卷解答-导数及应用(2)

本文为免费文档,是浙江大学2004-2001年微积分(1)期末考试——导数其应用部分试题解答,供大家参考.

5、 设y=xln(1+x)，求：y对x的10阶导数y(10)(x).

x1( 1)21【方法一】：y′=+ln(1+x)=1 +ln(1+x)，y′′=+.

1+x1+x(1+x)2(1+x)因此，y

(10)

( 1)109!( 1)88!9!8!

.=+=+

(1+x)10(1+x)9(1+x)10(1+x)9

【方法二】：设u=ln(1+x)，v=x，则：y

(10)

=u

(10)

( 1)99!10 ( 1)88!

v+10uv′=x+10

(1+x)(1+x)9

(9)

( 1)99! 9!10 ( 1)88!9!10 8!

+ +=++(x11)=

(1+x)10(1+x)9(1+x)9(1+x)10(1+x)9

9!8!=+.109(1+x)(1+x)6、

dx

(1)由于x=∫coss2ds=2tcost4；

0dtdydy

而y=sint4=4t3cost4；因此，=2t2.

dtdx

d2y4t4(2)2==2sec.t4

dx2tcost

t2

7、

t

2

2

(1)由x=∫e sds，可得，dx=e tdt.

又y=∫sin(t s)ds=

2dydy

=etsint2(2)dxdxt2

t

2

t s=u

∫

t0π

2

sinu2du，则：dy=siny2.

2

=e.

2

d2y(etsint2)′2tetsint2+2tetcost22t222t(3)2===2te(sint+cost).22

t t

dxeed2y2=π.

dxt