浙江大学历年微积分(1)试卷解答-导数及应用(7)

本文为免费文档,是浙江大学2004-2001年微积分(1)期末考试——导数其应用部分试题解答,供大家参考.

22、

(1) 求：常数a； (2) 证明：F(x)的导函数连续.

exsinx

=1，而f(x)为连续函数，则：a=1.(1)由于lim

x→0x

exsinx

1

exsinx xexsinx+excosx 1=lim=lim(2)F′(0)=lim

x→0x→0x→0xx22x2excosx=lim=1.x→02

x(exsinx+excosx) exsinx

(x≠0)

所以，F′(x)= .x2

1(x=0) xexsinx+xexcosx exsinx2xexcosx

(3)又limF′(x)=lim=lim=1=F′(0).2x→0x→0x→02xx

因此，F′(x)在x=0处连续，从而F′(x)在( ∞，+∞)上连续.23、 设常数a>0，讨论曲线y=ax与y=2lnx在第一象限中交点的个数. 22

f′(x)=a .令：f′(x)=0可得，x=.(1)由于f(x)=ax 2lnx，则：

xa

222

又f′′(x)=2>0，则：f(=2 2ln为f(x)唯一的极小值点，为最小值.

xaa

22

(2) 当2 2ln>0，即a>时，f(x)>0，方程f(x)=0无解，曲线没有交点；

ae2

当a=时，方程f(x)=0有唯一解，故两曲线在第一象限相切，有唯一交点；

e

22

limf(x)=+∞， 当0<a<时，f(<0；而lim+f(x)=+∞，x→+∞x→0ea

22

+∞)有解，又f(x)在两区间严格单调，因此，f(x)=0在(0和(aa22

+∞)内各有一个解.故，方程f(x)=0在(0和(aa

从而，两曲线在第一象限有两个交点.