浙江大学历年微积分(1)试卷解答-导数及应用(8)

本文为免费文档,是浙江大学2004-2001年微积分(1)期末考试——导数其应用部分试题解答,供大家参考.

24、 求曲线ln(y+x) cos(xy)=x上点x=0处的切线方程.

(1)当x=0时，y=e.

(2)等式ln(y+x) cos(xy)=x两边同时对x求导，可得

y′+1

+(xy′+y)sin(xy)=1.y+x

y=e+(e 1)x.因此，y′(0)=e 1.故，切线方程为：

25、

111

由于y(x)=arccotex ex ln(ex+1)]=arccotex x+ln(ex+1).

222

xxx

eee11

y′(x)= 因此， += .

1+e2x22(1+ex)1+e2x2(1+ex)

26、 设f(x)在( ∞，+∞)上存在二阶导数，且f(0)<0，f′′(x)>0( x∈R).

证明：(1) f(x)至多有两个零点，至少有一个零点；（2）若f(x)有两个零点，则此两个零点必异号. (注：f(x)的零点就是方程f(x)=0的根.) (1)如果f(x)在R上有三个零点x1<x2<x3，则根据Rolle定理， ξ∈(x1，x3)使得f′′(ξ)=0，这与f′′(x)>0矛盾，故，f(x)最多只有另个零点.

f′′(ξ)2

x>f(0)+f′(0)x.2

若f′(0)>0，则：limf(x)=+∞；从而存在x1>0使得f(x1)>0，又f(0)<0，(2)由Taylor展开，f(x)=f(0)+f′(0)x+

x→+∞

因此，存在ξ∈(0，x1)使得f(ξ)=0.

又f′′(x)>0，故，当x>0时，f′(x)>f′(0)>0，从而f(x)在(0，+∞)内严格+∞)内有唯一一个零点.单调，因此，在f(x)在(0， 若f′(0)<0，则：limf(x)=+∞；从而存在x2<0使得f(x2)>0，又f(0)<0，

x→ ∞

因此，存在ξ∈(0，x2)使得f(ξ)=0.

同样，当x<0时，f′(x)<f′(0)=0，从而f(x)在( ∞，0)内有唯一一个零点. 若f′(0)=0，而f′′(x)>0，则：当x>0时，f′(x)>f′(0)=0.

特别地，取x0>0，则：f′(x0)>0；因此，f(x)>f(x0)+f′(x0)(x x0).故，limf(x)=+∞；从而存在x3>0使得f(x3)>0，又f(0)<0，

x→+∞

因此，存在ξ∈(0，x3)使得f(ξ)=0；同样可得，在( ∞，0)内也存在零点.而f(x)在( ∞，0)内单调递减，在(0，+∞)内单调递增，因此，有两个两点.(3)由(2)的证明过程可得，f(x)若有两个零点，必定异号.