浙江大学历年微积分(1)试卷解答-导数及应用(9)

本文为免费文档,是浙江大学2004-2001年微积分(1)期末考试——导数其应用部分试题解答,供大家参考.

27、 设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导. (1) 叙述并证明拉格朗日中值定理；

(2) 如果再设f(a)=f(b)，且f(x)不是常数，试证明至少存在一点ξ∈(a，b) 使f′(ξ)>0．

(1)Lagrange中值定理：设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，

f(b) f(a)

=f′(ξ).则： ξ∈(a，b)使得

b a

f(b) f(a)

F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内令F(x)=f(x) (x a)，则：

b a

可导，且F(a)=F(b)=f(a)，由Rolle定理， ξ∈(a，b)使得F′(ξ)=0.

f(b) f(a)即=f′(ξ).

b a

(2)由于f(x)在[a，b]上不是常函数，又f(a)=f(b)，则：存在x0∈(a，b)使得f(x0)≠f(a)；不妨假设f(x0)>f(a)，由Lagrange中值定理， ξ∈(a，b)使得f′(ξ)=

f(x0) f(a)

>0.

x0 a

28、 证明函数f(x)极值存在的第二充分条件定理：

(1) 设f(x)在x=x0处存在二阶导数，f′(x0)=0，f′′(x0)=A>0(A<0)， 则f(x0)为f(x)的极小（大）值．

(2) 并请举例说明：上述定理仅是充分条件而非必要条件，即：f(x)在x=x0 处存在二阶导数，f′(x0)=0，f(x0)为f(x)的极小（大）值，但f′′(x0)并不一定为正（负）．

(1)当f′′(x0)>0时，f′′(x0)=lim

x→x0

f′(x) f′(x0)f′(x)

=lim>0.x→x0x xx x00

因此， δ>0，当x0 δ<x<x0时，f′(x)<0；当x0<x<x0+δ时，f′(x)>0.故，f(x)在x=x0处有极小值.

同样可证明，当f′′(x0)<0时，f(x)在x=x0处有极大值.(2)令f(x)=x4，显然，f(x)在x=0处有极小值，但f′′(0)=0.