浙江大学历年微积分(1)试卷解答-导数及应用(5)

本文为免费文档,是浙江大学2004-2001年微积分(1)期末考试——导数其应用部分试题解答,供大家参考.

16、

(1)

dxdy==dtdt1

2 21dydy= 2== (2)dxtdxt317、 求函数y=x 2x的极小值.

(1)由y(x)=x 2x可得，y′(x)=2x+x2xln2.

1

y′(x)=0 2x+x2xln2=0 x= 令：.

ln2

(2)又y′′(x)=2xln2+2xln2+x2xln22=2xln2(2+xln2)，

111

y′′( 当x= 时，时，y(x)=x 2x取极小值.>0；故，当x=

ln2ln2ln2

1

且其极小值为 .

eln218、 求由方程2y3 2y2+2xy+y x2=0确定的函数y=y(x)的极值，并问此极

值是极大值还是极小值，说明理由．

(1)方程2y3 2y2+2xy+y x2=0两边同时对x求导，

(6y2 4y+2x+1)y′+2y 2x=0.

令y′=0可得，y=x.

y=x x=0

(2)解方程组：.得到唯一驻点(0，0). 3 22

2y 2y+2xy+y x=0 y=02x 2y

(3)又y′′=(2′

6y 4y+2x+1(6y2 4y+2x+1)(2 2y′) 2(x y)(6y2 4y+2x+1)′

.=22

(6y 4y+2x+1)

因此，y′′(0)=2>0，故，当x=0时，y有极小值ymin(0)=0.19、 求曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程.

1π1

′. y=arctan1=y=.x=1x=1

1+x242

1πy=(x 1)+.(2)曲线y=arctanx在x=1处的切线方程为：

24(1)由于y=arctanx，则：y′=