浙江大学历年微积分(1)试卷解答-导数及应用(6)

本文为免费文档,是浙江大学2004-2001年微积分(1)期末考试——导数其应用部分试题解答,供大家参考.

20、

【方法一】：由f(x)=(x 4)e (x 2)ex+2可得，

x

x

f(0)=0，且f′(x)=( 1)e2 (x 1)ex f′(0)=0.

2

xxxx21x

f′′(x)=e xe=xe2( e2).

44

x

12

因此，当x>0时，e>1>. 当x>0时，f′′(x)<0.

4

于是，当x>0时，f′(x)<0 当x>0时，f(x)<0.

x2

【方法二】：将f(x)在x=0处作Taylor展开，f(0)=f′(0)=0.

xxxx21x

而f′′(x)=e xe=xe2( e2)，当x>0时，f′′(x)<0.

44

11

则：f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(ξ)x2=f′′(ξ)x2<0.

22

x

x

【方法三】：由于f′(x)=( 1)e2 (x 1)ex

2x

记g(t)=(t 1)et，在区间[，x]上对g(x)应用Lagrange中值定理，

2

xxxξx′ ξ∈(，x)使得，f′(x)= (x 1)e x=ξ(2 x)=ξe( 2<0.2

因此，f(x)在[0，+∞)上单调递减，故，f(x)<f(0)=0.

21、

令：f(x)=ln2x，g(x)=x；在区间[a,b]上应用Cauchy中值定理，

ln2b ln2alnξ

=2.其中：e<a<ξ<b<e2.

ξb a

lnx1 lnx

再令： (x)= ′(x)=<0.(x>e)

xx2

2

故， (x)在[e，+∞)上单调递减；因此， (x)> (e2)=2.(e<x<e2)

e

lnξ24>2，从而有，ln2b ln2a>2(b a).

ξee