浙江大学历年微积分(1)试卷解答-导数及应用(11)

本文为免费文档,是浙江大学2004-2001年微积分(1)期末考试——导数其应用部分试题解答,供大家参考.

31、 设f(x)在[a，b]上可导，且f+′(a)>0，f ′(b)<0.下述结论不正确的是【 】

(A) 至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)>f(a)； (B) 至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)>f(b)； (C) 至少存在一点x0∈(a，b)使f′(x0)=0；

f(x) f(a)

(1)由于f+′(a)=lim+>0，则： δ>0，当a<x<a+δ时，

x→ax a

f(x) f(a)

>0；从而，存在x0∈(a，b)使得f(x0)>f(a).

x a

(2)同样可得，存在x0∈(a，b)使得f(x0)>f(b).

(3)由(1)、(2)可得，f(x)在[a，b]上的最大值在(a，b)内取到；

即， x0∈(a，b)使得f(x0)=maxf(x)，根据Fermat定理，f′(x0)=0.

a≤x≤b

(2)、(3)都是正确的.因此，陈述(1)、

(4)例如f(x)=x x2(0≤x≤1)，则：f′(0)=1，f′(1)= 1.

1)均有f(x)>0，因此，不存在x0∈(0，

1)由于f(0)=f(1)=0，且对 x∈(0，使得f(x0)=

f(0)+f(1)

.故，(4)是错误的.2

32、 已知抛物线y=ax2+bx+c过点(1，2)，且在该点的曲率圆方程为

b=c=(1)由y=ax2+bx+c可得，y′=2ax+b，y′′=2a.因此，a+b+c=2，y′x=1=2a+b，y′′x=1=2a.

151(2)又曲率圆方程为：(x )2+(y )2=.

22215

两边求导可得，2(x +2(y y′=0. y′x=1，y=2=1.

22

5

再求导，2x+2y′y′+2(y )y′′=0 y′′x=1，y=2=4.

2

151

2)处有(2)由于y=ax2+bx+c与曲率圆(x )2+(y )2=在点(1，

222

2a=4

相同的y，y′，y′′，则：c=3． 2a+b=1 a=2，b= 3，

a+b+c=2