排列组合

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项圈排列

[说明]

环状排列，其特征是：所看到的环面只有一面。 接下来所要谈的是环面有(上、下)两面的情

形，也就是说 ，此环状可翻转。例如：手炼、项链…等。此种排列称为项圈排列(或珠状排列) 。 问题 : 将 3 颗不同的珠子(红、黄、蓝)，作成一条手炼，可作成几条不同的手炼呢？

此结果会如同单面之环状排列数 2 条吗？那就错了。为什么呢？ 首先，将 3 颗不同的珠子作成环状，则环状排列数为3!3= 2!；但因手炼有上、下两面可翻面，发现其中一图翻面后则成另一图， 此二种应视为同一种；所以，只可作成

3!3×21＝1条。 如下图所示： 原环状排列为 及

若将其中一条 翻面，则得

，所以，实际只可做出一条手炼。 若将它推广至n 个(n ≧3)不同的对象作项圈排列，同上述方法， 先将这个不同的对象作环状排列，则环状排列数为 n

n !＝(n －1)!； 因项圈排列与环状排列的差别是项圈排列可翻转(即有正、反两面)， 所以，每 2 个不同的环状排列，对项圈排列而言，均视为同一种，故得以下结论：

[定理] 取n 个(n ≧3)相异珠子作项圈排列的方法数为

2)!1( n 。 例题1. 有 10 颗不同的珠子

1. 全部串成一条项链，有多少种不同的串法?

2. 取出 6 颗串成一条项链，有多少种不同的串法?

解答： 先求出环状排列数再除以 2 (因为项链可翻面)

1. 10 颗不同的珠子，先做成环状排列，其环状排列数为(10-1)!=9!

2. ，因每 2 种不同的环状排列均为同一种串法，故有 2

!9种不同的串法。