排列组合

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同样的，对有限集合,,，我们可以如上图所示，其中圆，圆，圆分别表示集合,,，我们想求属于集合、或的元素个数，即 ∣A ∪B ∪C ∣，可先求

∣A ∣+∣B ∣+∣C ∣，此时参考上图红色的部分，我们加了两次，而蓝色部分我们总共加了三次，必须将重复的部分减掉，因此我们将∣A ∣+∣B ∣+∣C ∣减掉了 (∣A ∩B ∣+∣B ∩C ∣+∣C ∩A ∣)如此后，红色的部分即被减掉一次，但蓝色的部分却被减掉三次，因此

∣A ∣+∣B ∣+∣C ∣－ (∣A ∩B ∣+∣B ∩C ∣+∣C ∩A ∣)的值并没有包含蓝色的部分的元素个数，必须再加上去，才是整个圆形的元素个数，因此

∣A ∪B ∪C ∣=∣A ∣+∣B ∣+∣C ∣－ (∣A ∩B ∣+∣B ∩C ∣+∣C ∩A ∣) +∣A ∩B ∩C ∣

对三个以上的元素，我们也有类似的结果，即对任意有限集合 A 1，A 2，…..A n 属于集合A 1或A 2或 或A n 的元素个数为：

此事可以用数学归纳法证得另外，如果A 1，A 2，…..A n 为有限集合的子集合我们亦常会遇到要计算属于集合但不属于集合 A 1，A 2，…..A n 的元素个数，即 ∣A ∣－∣A 1，A 2，…..A n ∣，从 ∣A 1∪A 2∪….. ∪A n ∣的公式可知， ∣A ∣－∣A 1∪A 2∪….. ∪A n ∣等于：

[定理]

假设为一元素个数的集合，且 A 1，A 2，…..A n 为

的n 个子集合，则：

(1) 属于集合 A 1，A 2，…..A n 的元素个数为：

(2) 属于集合但部属于集合 A 1，A 2，…..A n 的元素个数为：

例题1. 求 1～120 中，不为 4 或 6 的倍数有几个？

这时我们先算出 4 或 6 的倍数之个数，根据前面的问题一中，我可以得知 4 或 6 倍数之个数是(30＋20－10)＝40 (个)，所以我们要算出不为 4 或 6 的倍数之个数就得以下算式 120－(30＋20－10)＝80(个)，故得知不为 4 或 6 倍数之个数为 80 (个)。

练习1. 试求 1 至 1000 中不被 2,3,5 整除的个数。 解答。

习题1. 任意取得之统一发票，其号码之个位数字为 0、1、2、...、9 中任一数字且这些数字出现之机率均相等，今自三个不同的场所各取得一张统一发票，试求三张发票号码的个位数字中：

a . 至少有一个为 1 之情形有几种？