排列组合

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相异物的组合

[说明]

在日常生活中我们时常会考虑，从不同的东西中要选出其中几个到底有多少种选法， 先看一个简单的例子:

若要从 A,B,C,D,E 五个人之中不考虑次序选出三个人作为一组，参加三对三篮球赛， 将会有多少种选法?

分析: 从此 5 个人当中选 3 个人出来排列，若考虑选择的次序，则共有53p 种情形。

由于固定的 3 个人，其直线排列数为3!。例如 A,B,C 三人的直线排列有

(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A) 6 种，而这 6 种排列皆为同一种选法，因此选法共有!

353p 种。 事实上，我们可以将所有可能的情形列出来，分别是

(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),(A,C,E),

(A,D,E),(B,C,D),(B,C,E),(B,D,E),(C,D,E) 等 10 种情形。

现考虑一般的情形，从 n 个不同对象中，不重复且不计其前后次序取 m 个(m ≦n)物件为一组，称作 n 中取 m 的组合。其中的每一种可能结果称为一种组合。我们以符号n m C 、c(n,m) 或(n m )表示所有组合的总数(简称组合数)。

由上面的例子可以知道， n 个不同对象中取 m 个的组合数n m C ，可以分成两个步骤来求: (i). 先从 n 个中选取 m 个出来作直线排列，其排列数为n m P 。

(ii). 由于对固定的 m 个对象，其直线排列数为

所以n m P 排列中每皆为同一种组合。 因此组合数 )

1)2()1()1()2()1(⨯⨯-⨯-⨯+-⨯⨯-⨯-⨯== m m m m n n n n P P C m m n m n m )!(!!m n m n -⨯=。 综合上述之讨论，我们有如下的定理：

[定理] 自 n 个不同物件中，每次不重复地取 m 个为一组，则其组合数为:

)!

(!!!m n m n m P C n m n m

-⨯== , ( 0≦m ≦n ) 例题1. 从 6 个男生，5 个女生当中选出一个五人的委员会，但规定男女生至少各有 2 人，问有多少种选法?

解答： 我们分 2 种情形来讨论: