排列组合

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乘法原理

[说明]

在说明乘法原理之前,我们首先考虑下面的问题：

假设某餐厅备有肉 4 种，鱼 3 种，蔬菜 5 种，有位客人预计各点

一种肉、鱼、和蔬菜，问他可有 几种点菜的方法？

解这个问题可分 3 个步骤： 第一步先从 4 种肉中选出一种,共有 4 种选法。 第二步由 3 种鱼中选出一种，共有 3 种选法。 最后再从 5 种蔬菜中选出一种，共有 5 种选法。 因为在第一步中每选择一种肉，都有 3 种鱼可供选择，而每选定一种鱼，也都有 5 种蔬菜可供选 择，故共有 4 × 3 × 5 = 60 种选法。

如果将上面问题中的点餐过程看做完成某一件事的过程，将选择肉看做完成此事的第一个步骤，将选择鱼 看做完成此事的第二个步骤，而将选择蔬菜看做完成此事的第三个步骤；并且分别将选择 4种肉、 3 种鱼和 5 种蔬菜看成完成第一步骤有ｍ1种方法，完成第二步骤有ｍ2种方法，完成第三步骤有ｍ3种方法,则我们可以得到下面的结论：

如果要完成某件事有 3 个步骤，完成第一步骤有ｍ1 种方法，完成第二步骤有ｍ2种方法，完成第 三步骤有ｍ3 种方法，则完成这件是共有ｍ1×ｍ2×ｍ3种方法。

我们可以将上面的例子与结论推广，进而推得乘法原理。

[定理]

如果完成某件事可依序分成k 个步骤，而第 j ( j=1,2,…..,k )个步骤有ｍj 种方法可以完成它， 那么完成这件事的方法共有ｍ1×ｍ2×ｍj 种。

[例题] 一兔穴有进出口 4 处，问由不同进出口进出的方法有几种？

解答： 可将此问题分为进与出 2 个步骤来完成。进的方法有 4 种，对每一种进的方法有 3 个出口可以出去，故由乘法原理可知， 由不同一口出入的方法有 4 × 3 = 12 种。

練習1. 某商店贩卖 5 家厂商出品的牙膏，而每一家厂商出品的牙膏都有 3 种大小不同的包

装，又每种包装均分含有氟化物及不含氟化物的 2 种，今某人欲在此商店选购一支牙膏，问方法有几种？