排列组合

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完全相异物直线排列

[说明]

甲、乙和丙三人排成一列，想知道有多少种可能的排法，我们可以将所有的排列一一列举出来，共有

六种不一样的排法。当人数变大时，如果要把所有可能的排列一一列

举出来，将是一工程浩大的工作。 事实上，若只想知道其可能的排列数，

并不需列出其所有可能的排法。以上述甲、乙和丙三人为例， 我们可以将三人排列的位置予以固定，并以如下的作法计算出其排列数。首先，此列中的第一个位置， 有甲、乙和丙三人可以选择； 其次，当第一个位置决定人选后，安排第二位置，此时利二人可以选择；最后， 第三个位置则留给最后一个人，没有其他选择。由乘法原理可知排列数共有 3×2×1＝6种。 现考虑较一般的情况，假设有 n 个不同的事物，将它们排成一列，会有几种不同的排法呢? 仿照上面的讨论方式，我们将排列的位置予以编号分别为 1，2，………，n ，并按编号依序选择放置的事物，则

(1). 从n 个不同的事物中，选一个放入编号1的位置，共有n 种选法。

(2). 从剩下的n-1个不同的事物中，选择一个放入编号2的位置共有n-1种选法。

(n-1). 从剩下的2个不同事物中，选择一个放入编号n-1的位置，共有2种选法。

(n). 从剩下的 1 个不同事物中，选择一个放入编号 n 的位置，共有 1 种选法。

因此由乘法原理可知排列数共有 n ×(n-1)×….×2×1种。为了使用上的方便我们将 n ，(n-1)，…，2，1的连乘积叫作 n 的阶乘，并以符号 n!表示。当

时， n!＝5!＝5×4×3×2×1＝120。 最后，我们考虑更一般的情况，假设有 个不同的事物，从其中任取

个 (m≦n) 排成一列，会有几种不同的排法呢? 同样地，我们将排列的位置编号，分别为 1，2，…，m, 并按编号依序选择放置的事物，则

(1). 从 n 个不同的事物中，选一个放入编号 1 的位置，共有 n 种选法。