6 这些条件的第一只要总人口是守恒的。第二条件是通过，结合以前的密度公式u(x).他能够被用于定义F 并且在u(x)>0的部分，通过观察它作为一个约束和最大F 约束。在简单情况下，他可能找到F 的显示的公式和u(x)>0的部分的U ；见【23】。一个动态模型，支持平衡解，与这个在【14】中被引入的构想一致。这个模型有如下形式

()[]u x ,f u ∇•∇-=αt u on ()∞⨯Ω,0,

与无通量边界条件

()0,=∂∂n

u x f u on ()∞⨯Ω∂,0, 定义域Ω是N R 中的有界域，有光滑边界∂Ω，n 是在∂Ω上的外向单位法向量，α是正常数，用以衡量扩散强度的适应性梯度。

单一物种模型

在本文中，我们将考虑对上述模型的变化，包括人口的增长和沿着定向的适应性梯度运动的扩散。自然要问，人口增长和扩散怎样相互作用。这是合理的假设：评定适应性梯度的过程，有瑕疵的梯度的跟踪，和对其他环境方面的反应可能造成一定量的随机运动。同时，通过将分布和人口动态包含进模型，我们能够把它放进一个框架，允许我们将它与其他已经在扩散演化【11-13,16,25】背景下研究过的模型相比较。在人口动态面前，纯理想自由扩散将预计导致一个平衡的人口分布，该分布中每个个体的适应性是0，因此，将没有进一步的人口增长。这相当于人口密度u(x)=m+(x),这里m+(x)表示m(x)的正向部分。如果m(x)被解释为描述资源的分布，那么有u=m+(x)意味着人口完全符合资源密度。我们将看到，随着生物向适应性梯度移动的趋势变大，这样的分布近似于对应的扩散模型的平衡。这将与包含运动梯度m(x)但不反应拥挤的模型的行为相对比。在这些模型中，生物的分布随着向梯度的移动速率变大，而趋向于变得集中在m(x)的局部最大值附近，见【12,13】

这个模型有如下形式

[]),(),(u x uf u x f u u u t +∇-∇•∇=αμ in ()∞⨯Ω,0. (1.1)

无通量边界条件