16 ()()()11,Ω∈--+=L v u m v t x g (4.10) 从而，我们可以应用[20,lemmal]，得到一下引理

引理 4.2

假设(u,v)是(3.1)的在时间区间[)T ,0上的一个古典解，则对任何+∞<<q 1,存在某个常数C(q)，使得

()()()()T t q C t v q L x ,0,,∈∀≤•Ω

(4.11)

引理 4.3

假设(u,v)是(3.1)的在时间区间[)T ,0上的一个古典解，则对任何+∞≤≤p 2，存在某个常数C(p)，使得 ()()()()T t P C t u p L ,0,,∈∀≤•Ω

(4.12)

证明 :由(3.1)中的u 一方程得

⎰⎰-=1011

0dx u u p dx u dt d t p p

()()()[]⎰--+---=-1

01v u m u v u m u u u p x x xx p

()⎰---=102

21dx u u p p x p

()()⎰--⋅-+-102

1dx v u m u u u p p x x p

()⎰--+1

0dx v u m u p p

()⎰---=102

21dx u u p p x p

()⎰⋅-+-1

011dx u m u p p x x p

()⎰---102

11dx u u p p x p

()⎰⋅---1

011dx v u u p p x x p

⎰⎰⎰--++10101

10vdx u p dx u p dx mu p p p p