19

⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+10221dx u p p x p +()⎰+=1071εεC dx u p p

+()⎰+=1081εεC dx u p p ()()()⎰⎰+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+109101224112εεC dx u p dx u p p p x

p

取定410≤

≤ε，上式推得 101010C dx u dx u dt

d p p ≤+⎰⎰ (4.18) 由此推得

1110C dx u p ≤⎰

即(4.12)得证

引理 4.4

假设(u,v)是(3.1)的在时间区间[)T ,0上的一个古典解，则存在某个常数C>0，使得

()()()T t C t u L ,0,,∈∀≤•∞Ω (4.19)

证明：由引理 4.3及著名的Moser-Alikakos 迭代技巧(参见文献[21，Lemma4.1])得到(4.19)

现在，我们得到本文的主要结论：

定理 4.5：在与引理3.1相同的假设下，问题(3.1)在整个时间区间[)∞,0上存在唯一的古典解

证明：由定理4.1和引理4.4知：定理3.1 m ax T 必满足