11

在,()2()k k T C Q αα++中， 我们依次以下方式引入半模:

[];,()()

sup

(,)T

T Q

X Y Q X Y

u X u Y u X Y α

αδ∈≠-=,

当k 为偶数时：

[];;2,T

T s r t x k Q

Q r s k

u D D u αα++=⎡⎤=

⎣⎦∑

当k 为奇数：

[];;(1)221

T

T T t

s r

s r

t x t x k Q

Q Q r s k

r s k u D D u D D u ααα+++=+=-⎡⎤⎡⎤=

+

⎣⎦⎣⎦∑

∑

.

空间,()2()k k T C Q αα++的范数可写成

[][];;0;02T

T

T

s r

t x k Q

k Q Q r s k

u D D u

u αα++≤+≤=

+∑

.

2.4 2(),(),()P P T p L L Q W ΩΩ与()2,1(0,)p W T Ω⨯空间（1P ≥）

记:(0,)T Q T =Ω⨯，

为一致起见，我们将用下列的注记：

{

}

():()|()p p

u x dx L u x Ω

Ω=<∞⎰，

{

}

(():(,)|,)T

p

T p

u x t dxdt L Q u x t Ω

<∞=⎰

⎰

，

(){}22

:|,,()p p x x W u u D u D u L Ω=∈Ω， (){}2,12:|,,,()p p T x x t T W Q u u D u D u D u L Q =∈.

上述空间的范数定义如下：

()

1

()

p p

p

L u u

dx

Ω

Ω=

⎰

()

1()

p T T p

Q p

L u

dx t

u d Ω=

⎰⎰，

()22

()

()

()

p

p

p p x x W L

L

L u u D u D u ΩΩΩΩ=++，

()

2,1

2

()

()

()

()

p

p

p p p

T

T

T T x x t W L Q L Q L Q L Q u

u

D u D u D u

Ω=+++.