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我们试图证明(3.1)的古典解在整个时间[)∞,0上存在，根据定理(3.1),只要

证明(3.1)存在某个常数C>0，使得对任何T>0,都有

()()C t u L ≤•Ω∞,,对()T t ,0∈∀

(4.1)

而(4.1)的证明是建立在一些引理的基础上的。

引理4.1 假设(u,v)是(3.1)的在时间区间[)T ,0上的一个古典解，则 ()m t v ≤•≤,0，()T t ,0∈∀

(4.2)

()()()

{

}(),,0,,max ,110

T t u m t u L L ∈∀≤•ΩΩ

(4.3)

其中()x m m max :Ω

=

证明：首先由假设()()0,000≥≥x v x u 以及抛物方程的最大值原理知： ()()T t t x u ,0,0,∈∀≥

(4.4)

()()T t m t x v ,0,,0∈∀≤≤

(4.5)

再在(3.1)中的第一个方程两边关于x 在(0,1)上积分得

()⎰⎰--=101

0dx v u m u udx dt

d ()⎰-≤1

dx u m u

⎰⎰-≤1

210

dx u udx m

(4.6)

另一方面，由Holder 不等式得 ⎰⎰⎰•≤⎪⎭

⎫ ⎝⎛1

021022

101dx u dx udx

⎰=1

2dx u

将上式代入(4.6)得