考研数学笔记(数学一)(9)

笔记

1.2.

Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y)

Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y)+ Cov(X2,Y)

相关系数

XY性质：1.| XY

|≤1

2.|

XY

|=1 P{Y=ax+b}，且当a>0时 XY

=1，当a<0时

XY

=-1。

独立一定不相关，不相关不一定独立。对于二维正态分布，独立与不相关等价。

4.4矩、协方差矩阵

E(Xk

),k阶原点矩

E{[X E(X)]k}，k阶中心矩

E(Xk

Yl)，k+l阶混合矩

E{[X E(X)]k[Y E(Y)]l}，k+l阶混合中心矩

c11c12 c ，协方差矩阵

21c22

第5章 大数定律和中心极限定理

5.1大数定律

１. 切比雪夫设随机变量(Chebyshev)公共上界，则对于任意实数X大数定律

1,X2,…,Xn相互独立，ε>0，有期望和方差都存在，

且它们的方差有lim1nn

P{|

n X 1n

E(X. i

i)| } 1i 1n i 1

切比雪夫不等式P{|

X | } 2

2

２. 伯努力大数定律设随机变量任意实数ε>0X

，有1,X2,…,X

n相互独立且都服从参数为p的0-1分布，则对于n

lim1

n

P{|

n Xp| } 1，即limP{|nAi p| i 1n n

} 1 ３. 辛钦大数定律设随机变量望，则对于任意实数X

1,X2,…,Xε>0n相互独立，有

,服从统一分布，且具有共同的数学期lim1nn

P{|

n X1，即X P

i | } i 1

5.2中心极限定理

１. 列维设随机变量-林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）方差，则

X,X

12,…,Xn相互独立，服从同一分布，且具有共同的期望和 n

X

k

n

近似地

近似地

N(0,1)N(0,1)

２. 李雅普诺夫设随机变量(Liapunov)X,…,X定理

1,X2n相互独立，他们具有数学期望和方差：

E(X2

k) k,D(Xk) k,k 1,2,...,n,

n记B2

2n k，若存在正数

，使得当n 时，

k 1

n

n

1Xk k

近似地

k 1

B E{|X2

} 0，则 k 12k k|n

BN(0,1)

n

３. 棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理（二项分布以正态分布为极限）limn

P x} (x)

第6章

数理统计的基本概念

6.1随机样本

为总体

X。

X，一般不区分总体与相应随机变量，笼统称来自总体X的n

6.2抽样分布

设gX1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，

n常用的统计量：中不含未知参数，则称 g(X)是一个连续函数，若1,X2,…,Xn) 样本均值

X 1nn

n X 样本方差i 1i 1

n (Xi )2 i 1样本k阶原点矩

X 1nk 样本k1nn X阶中心矩

i

X i 1

n (Xi X)k i 1经验分布函数F(x) 1S(x)表示值小于x的随机变量的个数。

n

n

S(x)，F(x) P

n F(x)

来自正态总体的几个常用抽样分布：１. χ2设分布X

1,X2,…,Xn是来自总体N(0,1)的样本，则称统计量 2 X21

X22

... X2n

服从自由度为n的χ2分布，记为χ2~χ2(n). 现Xi~N(0,1),由定义X2~ 2(1)，即X2

~ (1

ii

2

,1)，再由分布的可加性知

n

2 X

2ni~ (,1)

i 1

2

E(χ2

２. t分布)=n,

D(χ2)=2n 设X~N(0,1),Y~χ2 (n),且X,Y相互独立，则称随机变量

t

从自由度为当n的t分布，记为t~t(n).

３. TF分布的上n足够大时，t分布近似于N(0,1)分布。

分布

α分位点记为tα(n)，由其概率密度的对称性知t1-α(n)=- tα(n). 设U~χ2(n1),V~χ2(n2)，且U,V相互独立，则称随机变量

F

U/n1服从V/n2

自由度为的F分布，记为F~F(n1,n2).

F(1)分布的性质：(2) 若若 t~t(n),F~F(n 则1,n2t2),~F(1,n). 则1/F~F(n2,n1). F分布的上α分位点记为Fα(n)，

F1 1 (n1,n2)

F (n1,n2)

正态总体样本均值与样本方差的抽样分布：

首选，不论X服从什么分布，总有2

E() ,D() n

,E(S2) 2.

１. 2

X~N( , n

),且X与S2相互独立

２.

(n 1)S2

2

~ 2(n 1)

３.

~t(n 1)

４.

S22

1/S

2,若 22

~F(n1

1,n2 1) 221 2 ,则 1/ 2

~t(n1 n2 2),sw第

7章 参数估计

7.1点估计

于总体 设总体X１. 矩估计法X

用样本原点矩

a来估计总体的原点矩k

1na E(Xk)，用样本的

n Xkiki 1

10