考研数学笔记(数学一)(7)

笔记

5.3可对角化的条件

(1)空间的维数。有n个线性无关的特征向量；或 (2)每个特征值的重数等于对应特征向量子5.4实对称矩阵

性质：１２.. 实对称矩阵一定是可对角化的；

实对称矩阵的特征值全是实数，特征向量全是实向量，不同特征值的特

３

. 征向量是正交的；存在正交矩阵Ｔ，使得

T-1AT=diag(λ1,λ2,…,λn) 求T：先求得特征向量，再正交化。

第6章 二次型

6.1二次型的定义和矩阵表示

二次型：二次型就是二次齐次多项式（即每项都是二次的）矩阵表示：xTAx

合同矩阵：若存在CTAC=B，就称A合同于B，记作AB。

6.2化二次型为标准型 １２.３. 正交变换法 . 配方法初等变换法

6.3惯性定理和二次型的规范性

惯性定理：对于一个其中正平方项的项数和负平方项的项数都是唯一的。n元二次型，不论做怎样的坐标变换使之化为标准型，规范型：设A为n阶实对称矩阵，若A的正、负惯性指数分别为

p和q，则 Adiag(1,…,1,-1,…,-1,0,…,0)

其中 1或者说对于二次型有p个，-1有q个。xTAx ，存在坐标变换x=Cy，使得

xTAx y2 ... y2p

y2p 1

... y21

p q

把右端的二次型称为T

合同的充要条件：合同的充分条件： Ax、AxB有相同的正惯性指数和负惯性指数。的规范型，把上面的对角矩阵称为A的合同规范型。 合同的必要条件：A~Br(A)=r(B) 。（二者的前提是，A, B是实对称矩阵） 6.4正定二次型和正定矩阵

定义：如果对于任意的非零向量x=(x1,x2,…,xn)T都有xTAx>0，就称xT正定二次型，称二次型正定的充要条件：A为正定矩阵。 Ax为１ ２.３. xTAAx的正惯性指数为是正定二次型；n，即

ATI； ４. 存在可逆矩阵P，使得A=PP； ５.

. AA的特征值全大于的顺序主子式全大于0； 0. 必要条件：1.aii>0；2.|A|>0。

概率论与数理统计

第1章 概率论的基本概念

1.1基本概念

随机试验：样本空间，样本点，随机事件，事件发生，基本事件，必然事件，不可能事1.可以重复；2.总体明确；3.单个未知。

件，差事件，不相容事件，对立事件，逆事件 1.2频率和概率

数 n在相同条件下，进行了n次试验，在这n

A发生的次A称为的概率。对随机试验A发生的频数，比值E的每一事件nAA/n称为AP(A)，称为时间fn(A)。 ③可列可加性：集合函数 当n→∞时频率P(AP(.)满足下列条件：①非负性：P(A) ≥0；②规范性：P(Ω) =1；A1∪fA2∪…)=P(A1)+ P(A2)+…。 n(A)在一定意义下接近于概率P(A)。

加 若

A1,A2,...,An互不相容,则P(A1 A2 ... An) P(A1) P(A2) ... P(An)法

广义的,P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P() P(B) P() 公 P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)n

n

式 P(A i) i 1

P(Ai) 1 P(AiAj) i j n1 i P(AiAjAk) ... ( 1)n 1P(A1A2...An)i 1j k n减法 若B A,P(A B) P(A) P公式

(B) 任意的,P(A B) P(A) P(AB)

1.3等可能概型

１２.具有以上两个特点的试验称为等可能概型，也叫古典概型。. 样本空间包含有限个元素。每个基本事件发生的可能性相同。

1.4条件概率

设A、B是两个事件，且

P(A)>0，称

P(B|A)=

P(AB) P(A)

为在事件

A发生的条件下事件B 乘法公式全概率公式 P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)

P(A)=P(A|B1)+ P(A|B2)+…+ P(A|Bn) 贝叶斯公式

P(BP(A|Bi)

i|A)=

n

P(A|B

j

)

j 1

1.5独立性

、B是两个事件，如果满足等式A、B独立。 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A、BB A与 与B相互独立 B与相互独立 P(A|B)=P(A|)=P(A) P(B|A)=P(B|A)=P(B)

第2章 随机变量及其分布

2.1随机变量

值单值函数，称设随机试验 X=X(e)E的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值，且它的取值有一定的概率。这些性质显示了随机变量与普通函数有着本随机变量的取值随随机试验的结果而定，为随机变量。 在试验之前不能预知它取什么质的差异。

2.2离散型随机变量及其分布律

散型随机变量。如果随机变量X全部可能的取值是有限个或可列无限个，则称X为离 P(X=x 几个常见分布：k)=pk为X

１. 0-1分布 P(X k) pk(1 p)1 k,k 1,2

２. 二项分布 P(X k) Cknpk(1 p)1 k,k 0,1,2,...,n

３. 泊松分布

P(X k)

k

k!

e ,k 0,1,2,...

４. 几何分布 P(X k) pqk 1,k 1,2,... ５. 超几何分布

Ckn kP(X k)

N1CN

2

C

n

,k

0,1,2,...n

N1 N2

2.3随机变量的分布函数

设X是一个随机变量，

x是任意实数，函数F(x)=P(X≤x)称为X１分布函数 F(x)具有以下性质： ２.３. . F(x) 0≤F(x)≤1是一个不减函数

F(x+0)= F(x)，且，即F(-∞)=0, F(+∞)=1F(x)是右连续的 2.4连续型随机变量及其概率密度

意实数如果对于随机变量x，均有

X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任F(

x)

x

f(t)dt为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X１. f(x)概率密度 ≥0; f(x)具有以下性质： ２.

；

f(x)dx 1３.

P{xxx2

1 X x2} F(x2) F(1) xf(x)dx；

1

４. 若f(x)在点x处连续，则有F (x)

f(x)。

几个常见分布： １. 均匀分布

1

0,x a， f(x …… 此处隐藏：599字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……