考研数学笔记(数学一)(3)

笔记

2.斜渐近线：f(x)=ax+b,a

x)

xlim

f(

,b lim(f(x) ax)或

x

x a lim

f(x)x

x

,b 。 xlim (f(x) ax)（水平渐近线为其特例）

函数作图的步骤：1.2. 确定函数的定义域；

3. 观察函数的某些特性，奇偶性，周期性等； 4. 5. 判断函数是否有渐近线，如有，求出渐近线；

6. 确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，并列表； 适当确定一些特俗点的函数值； 根据上面提供的数据，作图。

第4章 积分

4.1不定积分 4.1.1.基本积分表

x

dx 1

1

1x

C 1xdx ln|x| C axdx 1x

lna

a C

sinxdx cosx C cosxdx sinx C

tanxdx ln|cosx| C cotxdx ln|sinx| C

secxdx ln|secx tanx| C

cscxdx ln|cscx cotx C ln|cscx cotx C ln|tanx

2| C sec2

xdx tanx C csc2

xdx cotx C

tanxsecxdx secx C cscxcotxdx cscx C arcsinx C或 arccosx C 1

1 x2dx arctanx C或

arccotx C

1a

2

x2dx 1aarctanxa C arcsinx

a C11a x

a2 x2dx 2aln|a x| C ln|x C

1 1x axx2 a2dx2aln|x a| C ln( C

2ax2arcsina

C2

a2lnxC

a22

ln(x C eax

cosbxdx eaxa2 b2(acosbx bsinbx) C

esinbxdx eaxax

a b(asinbx bcosbx) C e

x2

1sinx2cosx2sinxcosx

不可积的几个初等函数：

lnxxx

4.1.2.换元积分法和分部积分法

换元积分法： 1.2.第一类换元积分法，即凑微分法，合并。第二类换元积分法，拆分。

分部积分法：

u(x)v (x)dx u(x)v(x)

u (x)v(x)dx

4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分 有理函数

R(x)

P(x)的积分可以归结为下列四种简单分式的积分：Q(x)

（1）

A；（2）Ax adx ；

(x a)ndx

（3）

Mx+N；（4）

Mx+Nx2 px qdx (x2 px q)ndx

I n

dx(x2

a2)n

1x2n 3

2a2(n 1) (x2 a2)n 1 2a2(n 1)

In 1三角函数有理式的积分一般用万能代换tanx2

t，对于如下

形式可以采用更灵活的代换：

对于积分R(sin2x,cos2x)dx，可令tanx=t； 对于积分

R(sinx)cosxdx，可令sinx=t； 对于积分 R(cosx)sinxdx，可令cosx=t，等等。 某些可化为有理函数的积分

1.

R(xdx型积分，其中n>1，其中ad ≠bc。

t。

2. R(x型积分,其中b2 4ac 0，a ≠0。由于

ax2 bx c a(x

b24ac b2，故此类型积分可以化为以下三种类型：2a) 4a2

R(udx，可用三角替换u ksint； R(udx，可用三角替换u ksect；

R(udx，可用三角替换u ktant。

In1

tann 1n tanxdx

n 1

x In 2 倒代换：2

2 12 1 x，1 x，由此还可以求出

1 x4dx

1 x4dx

1 x4dx， x1 x4dx

a1sinx b1cosx

x bcosx

dx,(a2 b2 0)

asin解：设a1sinx b1

cosx A(asinx bcosx) B(acosx bsinx)，为此应有

aA bB a1，解得

bA aB bA aa1 bb1ab1 ba1，故 2,B 21

a b2

a b2

a1sinx b1cosxasinx bcosxdx A dx B (asinx bcosx)

asinx bcosxdx

aa1 bb1a bx ab1 ba1

a2 b

2

ln|asinx bcosx| C 224.2定积分 4.2.1.可积条件

可积的必要条件：若函数可积函数类：闭区间上的连续函数，单调函数，有界且只有有限个间断点。f(x)在闭区间[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界。

4.2.2.定积分的计算 1.换元积分法

b

a

f(x)dx f( (t)) (t)dx

从右到左，相当于不定积分的第一类换元积分法，从左到右，相当于第二类换元积分法。 2.分部积分法

b

b

a

u(x)v (x)dx u(x)v(x)|ba a

u (x)v(x)dx

常见的积分和式

n

b

i(b a)(b a)

af(x)dx limn

f(a

i 1n)n

n

b

a

f(x)dx limn

f(a (i 1)(b a)(b a)i 1

n)

n

3

笔记

n

lim1nf(i

n

) 1n

0f(x)dx

i 1

20

f(sinx)dx 20

f(cosx)dx

f(sinx)dx 2 0

f(sinx)dx

xf(sinx)dx

2

f(sinx)dx 20

f(sinx)dx

In 20

sinnxdx 20

cosnxdx,In 1

n

nIn 1

4.2.3.定积分的应用 (1)平面图形的面积

dS f(x)dx (y)dy

12

2

r( )d (2)旋转体的体积

dV f2(x) 2(y) 2 xf(x)dx

(3)弧长、曲率 弧微分公式：ds

曲率：

K |

d|y(t)x(t) y(t)x (t)||y |

ds|

[x 2(t) y 2(t)]3/2

(1 y 2)

3/2

(4)静矩、转动惯量 mr, mr2 (5)

引力 F G

m1m2

r2

①均匀细杆质量为M，长度为l，在杆的延长线上离右端为a处有一质量为m的质点，则质点与细杆之间的引力为F=kMm/a(a+l).

②均匀圆环质量为M，半径为r，在圆心的正上方距离为b处有一质量为m的质点，则质点与均匀圆环之间的引力为

F=

kMmb

.

3

(r2 b2)③均匀圆盘可以看作是无数个均匀圆环。 4.3广义积分

广义积分审敛法1.比较法 f(x)≤kg(x),k≥0

2.比较法的极限形 …… 此处隐藏：1840字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……