考研数学笔记(数学一)(8)

笔记

２. 指数分布

f(x) x e,x 0 1 e x,x 0

0,其他,F(x)

0,其他指数分布和几何分布具有“无记忆性” (x )2

３. 正态分布

f(x) X~N(μ,ζ2

)。特别地，当

μ=0, ζ=1时，称

(1) 若X~N( , 2),则X ~N(0,1)

(2)

F(x) (

x

)

(3) Φ(-x)= 1-Φ(x)

(4) 若X~N( , 2),则aX b~N(a b,a2 2) 2.5随机变量函数的分布

求随机变量函数的分布：１. 离散型随机变量函数的分布

２. 列举法：逐点求出

连续型随机变量函数的分布Y的值，概率不变，相同值合并 (1) 分布函数法

F(y) P{Y y} P(g(X) y)

f(x)dx

Yg(x

) y

(2) 公式法如果

型随机变量，其概率密度为y=g(x)处处可导且恒有

g’(x)>0(g’(x)<0)，则Y=g(X)也是连续f fX

[h(y)]|h (y)|,y Rg

Y(y)

0,其他其中x=h(y)是

y=g(x)的反函数。

第3章 多维随机变量及其分布

3.1二维随机变量

设随机试验E的样本空间为S={e}，X=X(e)和Y=Y(e)是定义在样本空

(X,Y)，叫做二维随机向量或x,y是任意实数，函数

F(x,y) P{X x Y y} 记成

P{X x,Y y} 称为二维随机变量 １分布函数(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。２.３. F(x,y)0≤F(x,y)是变量F(x,y) ≤1，且x和具有以下性质： F(-y∞,y)= F(x,的不减函数。-∞)= F(

-∞, -∞)=0，F(+∞, +∞)=1。 ４.. F(x,y)对关于x右连续，关于y也右连续。

F(x于任意的(x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2，有F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1

,y2)+

1,y1) ≥0。 (X,Y)如果二维随机变量 为离散型二维随机变量。(X,Y)P{X=x,Y=y则称ij}=pij是(X,Y)使得对于任意实数如果对于二维随机变量x，y，均有

(X,Y)

的分布函数F(x,y)f(x,y)，F(x,y)

y

x

f(x,y)dxdy

则称称为随机变量(X,Y)为连续型二维随机变量，其中函数f(x,y)称为(X,Y) １. f(x,y)概率密度X ≥0. f(x,y)和Y具有以下性质：的联合概率密度。 ２.

f(x,y)dxdy 1.

３.

P{(X,Y) D} f(x,y)dxdy

.

D

４. 若f(x,y)在点(x,y)处连续，则有 2

F(x,y)

x y

f(x,y)

.

3.2边缘分布

边缘分布函数：FX(x) F(x, ),FY(y) F( ,y) 边缘分布律：

P{X x

i} pij pi ,P{Y yj} 1

pij p j

j i 1

边缘概率密度：f

,y)dy,f

X

(x)

f(xY(y)

f(x,y)dx

3.3条件分布 条件分布率：

P{X xP{X xi,Y yj}

i|Y yj}

P{Y y

pij j}

p j

条件概率密度：

ff(x,y) X|Y(x|y)

fY(y)

3.4相互独立的随机变量

X和Y相互独立 F(x,y) FX(x)FY(y) f(x,y) fX(x)fY

(y)(连续

型)

P{X xi,Y yj} P{X xi}P{Y yj}(离散型)

3.5二维随机变量函数的分布 １. 离散型二维随机变量２. 列举法连续型二维随机变量

(1) 分布函数法

F(z) P{Z z} P(g(X,Y) z)

x,y)dxdy

g(x

f(,y) z

(2) 公式法①Z=X+Y

fZ(z)

f(x,z x)dxX,Y对称

f(z y,y)dy

当X和Y相互独立时，有卷积公式

fZ(z) fX*fY

fX(x)fY(z x)dx

fX(z y)fY(y)dy

②Z=max(X,Y)和Z= min(X,Y)

Fmax(z) FX(z)FY(z) Fmin(z) 1 (1 FX(z))(1 FY(z))

第4章 随机变量的数字特征

4.1数学期望 离散型nE(X)

x连续型

kpkE(x)

k 1

xf(x)dx n

g(xk)pk,离散型

E(g(X)) k 1

g(x)f(x)dx,连续型

E(Z) E(g(X,Y))

g(x,y)f(x,y)dxdy

性质：1.E(C)=C

2.E(CX)=CE(X) 3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)

4.当X，Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y)

4.2方差

D(X)=E{[X-E(X)]2性质：}=E(X2)-E(X)2 1.D(C)=0 2.D(CX)=C2

3.D(X±Y)=D(X)±D(X) 2Cov(X,Y)+D(Y)=D(X)±2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=

4.D(X)=0D(X)±2[E(XY)-E(X)E(Y)]+D(Y) 常见分布的数字特征： P{X=C}=1 离散型： 1.0-12.分布

3.二项分布 E(X)=p,D(X)=pq 4.泊松分布 E(X)=np,D(X)=npq 几何分布 E(X)=D(X)=λE(X)=1/p,D(X)=q/p

25.连续型：超几何分布 E(X)=n●N

1/N,D(X)=n●N1/N●N2/N●(N-n)/(N-1) 1.2.均匀分布 23.指数分布 正态分布 E(X)=(b+a)/2,D(X)=(b-a)2/12 E(X)=1/λ,D(X)1/λE(X)=μ,D(X)=ζ2 4.3协方差及相关系数

协方差性质：

Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}= E(XY)-E(X)E(Y) 9