考研数学笔记(数学一)

笔记

高等数学

高中公式

三角函数公式

和差角公式 和差化积公式

sin( ) sin cos cos sin sin sin 2sin cos

cos( ) cos cos sin sin 22tg( ) tg tg

sin sin 2cos sin

1tg tg

22

ctg( )

ctg ctg 1cos cos 2cos cos

ctg ctg 22cos cos -2sin

2sin

2积化和差公式 倍角公式

sin2 2sin cos

2tan

sin cos 11 tan2

2

[sin( ) sin( )]cos2 2cos2

1 1 2sin2

cos sin 12

[sin( ) sin( )] cos2 sin2

1 tan2 1 tan2 cos cos 12

[cos( ) cos( )]tg2 2tg 1 tg2 ctg2 ctg2

12ctg sin sin 12[cos( ) cos( )]

sin3 3sin 4sin3

cos3 4cos3 3cos

3

3tg tg3tg 1 3tg2

半角公式

sin

2 cos 2

tg 2 1 cos sin sin 1 cos 　ctg

2

1 cos sin

sin 1 cos

V11

棱柱=SH V棱锥=3SH V棱台=3

)

球的表面积：4πR2

球的体积：4椭圆面积：πab 3

R3

椭球的体积：43abc R3

第1章 极限与连续

1.1集合、映射、函数

空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界确界存在定理：凡有上映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，(下)界的非空数集必有有限的上

(下)确界。

因变量，基本初等函数 1.2数列的极限

性质：1.2. 3. （唯一性）收敛数列的极限必唯一。

（有界性）收敛数列必为有界数列。 （子列不变性）若数列收敛于

注注1.a，则其任何子列也收敛于a。

2. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，若数列注3. 就是原数列，则原数列也收敛于{x有两个子列{x仍不能保证原数列收敛。n}p},{xq}均收敛于a，且这两个子列合起来

性质3提供了证明了某数列发散的方法，a。

即用其逆否命题：4. （对有限变动的不变性）若数列该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。若能从

得到的新数列仍收敛于a。 {x，则改变{x

n}收敛于an}中的有限项所

5.

（保序性）若limx a,limy b，且a<b，则存在N，当n>N时，有

n

nn

n

xn<yn。

判别法则：

1.夹逼法则：若 N,当n>N时，xn≤yn≤zn，且limxn=limzn=a, 则

n

nlimyn=a。

n

2.注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。单调收敛原理：单调有界数列必收敛。

3.在正整数柯西收敛准则：数列N ，使得当{xm，n}收敛的充要条件是：对于任意给定的正数n>N时，有|xε，都存m-xn|<ε。

1.3函数的极限

性质：极限唯一性，局部有界性，局部保序性。判别法则： 1.夹逼法则：若

邻域

xlim xf(x) limx xh(x) A，且存在x0的某一去心0

Uo

(xx Uo

0, )，使得 (x0, )，均有f(x)≤g(x)≤h(x)，则limx xh(x) A。

2.单调收敛原理：单调有界函数必收敛。

3. 柯西收敛准则：函数f(x)收敛的充要条件是： ε>0, >0, x’,x’’∈ Uo

(x0, )

,

有|f(x’)-f(x’’)|<ε。

4.海涅(Heine)归结原则：

对于任何满足

xlim xf(x) A的充要条件是：0

的数列{xn}，都有xlim xxn x0limf(xn) A。

n

收敛于该点的自变量归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方面的，者选出两个收敛于该点的数列x的数列{x例如可以挑选一个

却具有不同的极限。 {xn}，而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛；或n},{x’n}，而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)}1.4无穷小与无穷大 若

xlim

(x)

，当

0

x0

(x)

ll 时，则称x→x 00时称α(x)是β(x)的

1

高阶无穷小，记作 (x) o( (x))

(x) O( (x)) 同阶无穷小，记作

等阶无穷小，记作 (x)~ (x)常用等价无穷小

sinx tanx arcsin x arctanx ex 1ln(1 x)~x1 cosx~1

2x2 (1 x)a 1~ax ax 1~xlna

若f(x=0), f’(0)≠0,则

x

f(t)dt

1

2

f (0)x2 确定等价无穷小的方法：1.洛必达法则，2.泰勒公式 1.5连续函数

极限存在连续简断点： 左右极限存在且相等，且等于该点函数值。 左右极限存在且相等。

左右极限至少有一个不存在。1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；

2.闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，零点存在定理。

1.6常见题型

求极限的方法：泰勒公式；7.放缩法；

5.洛必达法则；1.四则运算；6.利用函数极限求数列极限；2.换元和两个重要极限；3.等价无穷小替换； 4.求极限limx,就要将数列xn放大与缩小成：zn≤xn≤yn.

n

n

8.求递归数列的极限

(1)先证递归数列{an}收敛（常用单调收敛原理），然后设limn

x

n

A, 再对递

归方程an 1

f(an)取极限得A=f(A), 最后解出A即可。

(2)先设

limxn A，对递归方程取极限后解得

A，再用某种方法证明

n

lim

an A。

n第2章 导数与微分

2.1求导法则和求导公式 求导法则：

1