考研数学笔记(数学一)(6)

笔记

3.2矩阵的秩

ab0

1111cabDx1x2x3xnca

bn aDn 1 bcDn 2

x21

x22x23x2n xj)

1

(xij i n

c

abxn 1 1

1xn 12xn3xn 1

ncab0

ca

重要公式：

AB ABA* An 1

A 1 A 1

Ak A

k

Cramer法则：

xj Dj/D

第2章 矩阵

2.1基本概念

奇异矩阵，非奇异矩阵，零矩阵，同型矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，对角块矩阵，对称矩阵，反对称矩阵，逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵 2.2矩阵的运算

加法，数量乘法，乘法，转置，逆，伴随

(AB)T BTATA 1

A*

A

AA* A*A AI(AB) 1 B 1A 1 (A 1)T (AT) 1 (A 1)* (A*) 1 (A 1)n (An) 1(AB)*

B*

A*

(A*)T

(AT)*

(A*) 1

(A 1)*

(A*)*

A

n 2

A

n,r(A) n

r(A*

)

n 1

1,r(A)

0,r(A) n 22阶矩阵的伴随矩阵：主对角线互换，副对角线变号 2.3初等变换

Ei(c) Eij(c) Eij 左乘是行变换，右乘是列变换

E(1

i)Ei(c) I Eij( c)Eij(c) I EijEij I

c

2.4分块矩阵 同型对角块矩阵

C1

C D1 C1D1 2

D2

C2D2

C n D n C nDn

1

A-1 A 1

A1A 1 A

1 1 n

2

A-1

2A2

A A 1 A-1

n

2

n An

A-1 1

B0 -1

B 1 0 CD = D 1CB

1D 1

2.5常见题型

求方阵的幂：1.r(A)=1；2.A=B+C；3.相似对角化，An P 1 n

P 求逆矩阵：公式法，分块矩阵法，初等变换法

第3章 线性方程组

3.1 n维向量

线性组合，线性表出，向量组等价，线性相关，线性无关，向量组的秩，极大线性无关组

1.2.

矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩

=矩阵的非零主子式的最高阶数 r(A B) r(A) r(B) r(AB) min(r(A),r(B))

A是m×n矩阵，若AB=0，则r(A) r(B) n 标准相抵型

PAQ I

r

0 00

同型等秩 相抵

3.3齐次方程组Ax=0

判定：有非零解解的结构： r(A)<n

行中第一个非零系数所在列代表的未知数是基本未知量（有有n-r个基础解系。对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，自由未知量，对自由未知量按阶梯形赋值后，再代入求解就可以得到基础解r个），剩余的是每个非零系。

3.4非齐次方程组Ax=b

设（A是m×n矩阵，方程组Ax=b，则 （1（2）3） ） 有唯一解 r(A)=r(A,b)=n； 有无穷解无解 r(A)+1=r(A,b) r(A)=r(A,b)<n。 ； 解的结构：x x0

x

3.5常见题型

1.线性无关的证明，常用思路是是设k1 1 k2 2 ... kn n

0，两边同乘

作恒等变形。

2.Ax=0和ATAx=0同解。

3.基础解系的证明：是解，线性无关，n-r

第4章 向量空间与线性变换

4.1基本概念

自然基，标准基，标准正交基，基，维数，坐标，过度矩阵，向量的内积，欧氏空间，线性空间 4.2坐标变换

基变换：B1A=B2 坐标变换：x=Ay 旋转变换

A

cos sin

sin cos

4.3施密特正交化

1 1

1

j j

ij

i

,k

ij

( j, i)i kj 1

( i, i)

4.5正交矩阵

正交矩阵ATA=I 列向量组是标准正交基

设A,B是正交矩阵,则AT,A 1,AB也是正交矩阵. Ax,Ay的长度,夹角和内积保持不变.

第5章 特征值和特征向量

5.1特征值和特征向量

概念：特征值，特征向量，特征矩阵，特征多项式，特征方程定义： 性质：Ax=λx 1. 不同特征值的特征向量是线性无关的

2.

nnn

i aii; i detA

i 1

i 1

i 1

3. kλ, λ+k, λm, λ-1

4.

A和AT，AB和BA的特征值相同。

5.2相似矩阵

定义：若存在性质：１P-1AP=B，就称A２.若A~B，则A+kI~B+kI,A相似于m~BmB；，记作 A~B。 相似的充分条件：矩阵有相同的特征向量，特征向量线性无关。.相似矩阵的特征值相同。

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