考研数学笔记(数学一)(5)

笔记

第9章 多元函数积分学

9.1二重积分

1.x 型区域I badx y2(x)yf(x,y)dy

1(x) 2.y 型区域I dx2(y)

cdy x(y)f(x,y)dx

1

二重积分 3.换元法 令 x x(u,v) I I f(x,y)d

y y(u,v) f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv DD x u a 1 平移变换 令 I f(u a,v b)dudv y v bD x rcos

I 2 极坐标变换 令

y rsin f(rcos ,rsin )rdrd D 9.2三重积分

1.二套一，一套二

换元 x x(u,v, 2. 法 令 w)

y y(u,v,w) I (u,v,w) f(x(u,v,w),y(...),z(...))|J|dudvdw

z zv

x u a (1)平移变换 令

y v b I c f(...)dudvdw

三重积分

z w v

I f(x,y,z)dv (2)柱坐标 令 x rcos y rsin I f(...)rdrd dz v 变换 z zv (3)球坐标 x rsin cos

2

变换 令 y rsin sin I f(...)rsin drd d

z rcos v

椭球 x arsin cos

(4)坐标令 y brsin sin I f(...)abcr2sin drd d 变换 z crcos

v 9.3重积分的应用

(1)曲面面积 dxdy cos(n,z)

x (x,y,z)

(2)物体重心 x dvv

(x,y,z)dvv (3)转动惯量(mr2) 对z轴dJ2z (x y2) (x,y,z)dv 对xy平面dJxy z2 (x,y,z)dv

9.4曲线积分

第一类(f(x,y,z)ds) 代入弧微分公式

L 第二类(代入参数方程

L( Pdx Qdy Rdz)

[P(...)x (t) Q(...)y (t) R(...)z (t)]dt A,B)

9.5曲面积分

第一类(f(x,y,z)dS)

代入面积元素

S 第二类 (

Pdydz Qdzdx Rdxdy) z z

S [P( ) Q( ) Dxy x yR]dxdy

9.6格林公式

Q

Pdx Qdy L ( Q P xdxdy Qdy

DL

D x y)dxdy P dxdy D y

Pdx

L

(i) Pdx Qdy 0 (ii)与路径无关 (iii)du Pdx Qdy (iv) Q P (i) L

x y (1)不定积分法 求Pdx Qdy的原函数 (2)若 Q P

x y,特殊路径法

(3)凑微分法 9.7高斯公式

P

dv v

x PdydzS

Pdydz Qdzdx Rdxdy ( )dv S

P Q R Q

v x y z v

ydv

Qdzdx

S

R

dv v

z Pdxdy

S

9.8斯托克公式

dydzdzdxdxdy Pdx P PL dzdx dydx)S z y

Pdx Qdy Rdz L x y z Qdx L Qdxdy Q dzdy)S x z PQR R Rdz ydydz R

xdxdz) LS

(i) Pdx Qdy Rdz 0 (ii)与路径无关 (iii)du Pdx Qdy Rdz L

(iv) R Q P R Q P y z, z x, x y (i)9.9如何简化计算 1.2.

选择积分顺序（二重积分，三重积分）3. 选择投影方向（第4. 利用对称性与奇偶性II类曲面积分） 5. 换元 6.曲线和曲面积分，利用已有方程

7.

利用几何或物理意义利用三个公式

线性代数

第1章 行列式

上三角行列式

下三角行列式

a11

*a11

a

22

a22

a11a22...ann0

ann*

ann

次三角行列式

*

an

an

n(n 1)

a 2

a ( 1)

2

a1a2...an

2

a1

a1

*

两种特殊的

A*

A0

拉普拉斯(

0B *B

ABLaplace)展开式 *A0

A

( 1)mnAB

B0B行列式的性质：行列不变；行行变反；倍加行不变。 范德蒙行列式 三对角行列式

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