考研数学笔记(数学一)(2)

笔记

1.[αu(x)+四则运算法则 βv(x)]’=αu’(x)+

βv’(x) [u(x)v(x)]’= u’(x)v(x)+ u(x)v’(x)

[u(x)u (x)v(x) u(x)v (x)v(x)] v(x)

2.复合函数求导

(f[ (x)]) f [ (x)] (x)

关键在于区分哪些是中间变量，哪些是自变量 3.反函数求导 [f 1(y) ]

1 f (x)

4.5.隐函数求导参数式求导

x x(t)y(t),dydx y (t)x (t),d2yy (t)x (t) y (t)x (t)

dx

2 y [x (t)]36.7.对数求导法分段函数求导

(1)按求导法则求连接点处的左右导数 设

f(x) g(x),x x x0x),x,若g (x h(

0) h (x0) A,则f (x0) A.0 x x

(2) 按定义求连接点处的左右导数 设

g(x), x x x0

f(x)

A, x xg(x)与f(x)在点x0处无定义， 0,

h(x), x x x 可按定义求g

(x0)与h (x0)0(3)对于

g(x),x x f(x) limf(x) f(x0) 0(1)f(x)很复杂，按定义求,f (x0) x x0A, x x,

x x0

0(2)否则，先求出f (x)，再求limx xf (x)

8.变限积分求导

y

(x)

(x)

f(t)dt,

dy

dx

f( (x)) (x) f( (x)) (x) 求导公式：

(C) 0

(sinx) cosx(arcsinx) (x

) x 1

(cosx) sinx

(ax) axlna(tanx) sec2

x(arccosx) ) cscx(log1(ctgx

2

ax) 1xlna(secx) secx tanx(arctgx)

cscx ctgx1 x2

(cscx)(arcctgx)

1

1 x2

2.2高阶导数和高阶微分 求高阶导数的方法： 1.莱布尼茨（Leibniz）公式：n

(u(x)v(x))(n) Ck(k)

nu(x)v(n k)(x)

k 02.常用公式

(eax b)(n) aneax b

(sin(ax b))(n) ansin(ax b

n 2

)(cos(ax b))(n) ancos(ax b n

)

2

((ax b) )(n) an ( 1)...( n 1)(ax b) n

(

1ax b)(n) an

( 1)nn!

(ax b)n 1

(ln(ax b))(n) an( 1)n 1(n 1)!

1

(ax b)

n

3.分解为上述初等函数之和分解法

第3章 中值定理和泰勒公式

3.1中值定理

费马定理：若是函数的极值点必为驻点x0是f(x)的一个极值点，且f’(x0)存在，则必有f’(x0)=0(可微1.)，

(a,b)罗尔定理：若函数2.区间拉格朗日定理：若函数内可导；(iii)f(a)=f(b)f(x)满足以下条件；，则在(a,b)内可导，则在(a,b)f(x)内至少存在一点满足以下条件；(a,b)内至少存在一点(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间ξ(i)，使得在闭区间ξ，使得

[a,b]上连续；f’(ξ)=0.

(ii)在开f(b) f(a)

f ( ).

b a

3.开区间柯西定理：若函数(a,b)内可导；(iii)f(x) 和 xg(x)∈(a,b),g’(x)≠0满足以下条件；，则在(i)(a,b)在闭区间内至少存在一点[a,b]上连续；ξ，使得(ii)在

f(b) f(a)

g(b) g(a)

f ( )

3.2泰勒公式 求泰勒公式的方法：

1.泰勒公式（拉格朗日余项）：n

f(x)

f(k)(x0)(x x)k

f(n 1)( )0k 0

(n 1)!

(x x0)n 1 k!2.常用麦克劳林公式（带拉格朗日余项）

ex 1

xx2

xnxn 11! 2!

n! x

(n 1)!e3 1sinx x xx5

3! 5! ( 1)n

1x2n(2n 1)! ( 1)nx2n 1

(2n 1)!

cos x

2cosx 1

xx4

( 1)n

x2nx2n 2

2! 4!

( 1)n 1(2n)!(2n 2)!

cos xln(1 x) x

x2x3

xnnxn 1

2 3

( 1)n 1

n ( 1)(n 1)(1 x)n 1

(1 x) 1 x

2 x2

0

n xn n 1 xn 1(1

x) (n 1) 1

1 x x2 ... ( 1)nxn ( 1)n 1xn 1(1 x) 1 (n 1)

1 x

1

1 x x2 ... xn xn 1(1 x) 1 (n 1)

1 x

n11 1x ( 1)k 1(2k 3)!!xk ( 1)n(2n 1)!!xn 1

(1 x)2

(n 1)2k 2(2k)!!(2n 2)!!3.逐项求导或逐项积分 若

f(x) (x)或f(x) x

(t)dt，

φ(x)的泰勒公式可以比较方便的求出来，x0然后对其逐项求导或逐项积分便可以得到f(x)的泰勒公式。 例如：arctanx

x

1

21dt x0

t

2

0(1 t t4)dt o(x5) x 11

3x3 5

x5 o(x5)

3.3函数的极值、最值

驻点，导数不存在的点为极值可疑点。驻点，导数不存在的点，端点为最值可疑点。

极值判别法则：1.微，如果在设点x为函数

0值点。反之必为极小值点。(x-δ,xf(x)内的极值可疑点，f’(xf(x)在点x0的邻域内连续，去心邻域内可00)0)≥0，在 (x0,x0+δ)内f’(x0)≤0，则x0必为f(x)的极大2.(大若点)值点。x

0是

f(x)的驻点且f’’(x0)存在，则当f’’(x0)>0(<0)时，x0必为f(x)的极小3.设函数f(x)在点x0处有n阶导数，且f (

x0

) f (x0

) ... f(n 1)(x0

) 0，

但

f

(n)

(x0) 0，则(i)当n为偶数时，f(x)在点x0处取极值，当f

(n)

(x0) 0时

取极小值，当f(n)(x0) 0时取极大值；(ii)当n为奇数时f(x0)不是极值。

3.4函数作图

定理：设函数上是凸（凹）函数的充要条件是：f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间2. f(λx1.f’(x) 在开区间(a,b)(a,b)内可导，则内单调递减（增）f(x)在。[a,b] 3. f’’(x1)+ (1-λ)x2)<(>) λf(x1)+(1-λ) f(x2), λ∈(0,1). 若函数0)≤(≥)0.拐点的必要条件：f(x)在点

x0处凹凸性相反，则点x0称为拐点的充要条件：f’(xf(x) f’’(x)0)=0经过时变号。或f’(x0)不存在。

渐近线：1.垂直渐近线：x=a是垂直渐近线 lim 0

或xlim a 0

.

x a2