考研数学笔记(数学一)(4)

笔记

4.伯努利方程dy

dx

P(x)y Q(x)y 令y z1

dz

dx

(1 )P(x)z (1 )Q(x) 5.全微分方程 特殊路径法，凑微分法

6. dp

可降阶的 不含y y f(x,y ) 令p y ,y

dx 高阶方程

不含x y f(y,y ) 令p y ,yydp

dy

7.

(1)已知y1

线

二阶齐次 y p(x)y q(x)y 0 (2)令y2 u(x)y1，代入求出y性 2 (3)y c

1y1 c2y2 微

(1)求出对应齐次方程的y分

1,y2

方 二阶非齐次 (2)令y*

u u1 y1 u2 y2 1(x)y1(x) u(x)y(x),求出u,u0程

y p(x)y q(x)y f(x) 2212 u1 y1 u2 y2 f(x)

(3)y c c*

1y12y2 y 8.常系数线性微分方程 二阶齐次

特征方程的根

微分方程的 微分方程的 y p(x)y 线性无关解

通解

q(x)y 0

互异实根

er1x,er2x

y c1xr2x1er c2e r1,r2

二重实根

erx

,xe

rx

(crx1 c2x)e r1=r2=r

共轭复根

e xcos x,e xsin x

e x(c1cos x c2sin x)

r1,2=α±iβ

二阶非齐次

（1）求对应齐次方程的y1,y2 y p(x)y （2）令y* Q(x)e

x

xk(A0 A1x ... A x

mxm)e

q(x)y f(x)

Q (x) (2 p)Q (x) ( 2

p q)Q(x) pm(x)

（3）y c1y1 c2y2

y*

9.欧拉方程

xny(n) p1xn 1y(n 1) ... pn 1xy pny f(x)

dk

令x et,Dk

dt

k,则xky(k) D(D 1)...(D k 1)y [D(D 1)...(D n 1) p1D(D 1)...(D n 2) ... pn 1D]y f(et)第7章 向量代数与空间解析几何

i

jk

a b ax

aya,b,c) (a b) c(平行六面体的体积)

z (abx

by

bz

点法式 x x0

A(x x0) B(y y0)+C(z-z0

)=0 参数式 mt

y y平面 三点式 混合积为零 0 nt 直 z 方程 截距式 xyz z0 ptx

a b c 1 线

对称式 x0y y0z z0 一般式 Ax By Cz D 0 方m n p 程

一般式 A1x B1y C1z D1 0

A2x B2y C2z D2 0

平面束方程 (A1x B1y C1z D1) (A2x B2y C2z D2

) 0

两平面夹角

两直线夹角 cos

sin (平面与直线的夹角)

点到直线的距离d

点到直线的距离

d

|p1p0 s||s|

x2z2x2z2

柱面：椭圆柱面

a2 b2 1 双曲柱面a2

-b2 1 抛物柱面x2 2pz 22 球面x

2 y2 z2 R2

椎面xyz2a2 b

2 c2 0 x x x(t)

常 y

y(t) 绕z轴旋转 y 见

z z(t) z z(t) 二

x2+y2z2

旋转椭园面 次 旋转面 22 1

ab曲 f(x,z)

x2+y2z2绕z轴旋转 线 f(z) 0 旋转双2 2 1(单叶) y 0

ab 曲面 x2y2 z2

2 2 1(

ab双叶)

旋转抛物面x2 y2 2pz x2 x222222 y2 z(椭圆) 2 椭球面 单 a2b

a2 yb2 zc2 1 双曲面xa2 yb2 zc2 1

双 抛物面 x22

a-yb z(双曲)第8章 多元函数微分学

复合函数微分法，关键在于确定哪些是中间变量，哪些是自变量

(x) y Fx 由方程确定的隐函数 Fi1,x2,...,xn

x F

iy

隐 1 函 du

(F,G)F(x,u,v) 0 dx J (x,v)数

微 G(x,u,v) 0 dv 1 (F,G) 由方程组确 dxJ (u,x)分 定的隐函数

1 (F,G)du1 (F,法 u

F G)J (x,v), y J (y,v)

(x,y,u,v) 0 x

G(x,y,u,v) 0 v 1 (F,G), v 1 (F,G)

xJ (u,x) yJ (u,y)(x (t0),y (t0),z (t0))

(Fx(P0),Fy(P0),Fz(P0))曲线的切线 y (x) 曲面的切平面(f

0),z (x0x(x0,y0),fy(x0,y0), 1)和法平面( (F,G) (F (y,z),,G) (z,x), (F,G) (x,y))和法线( (y,z) (u,v), (z,x) (x,y) (u,v), (u,v)

)

二元函数泰勒公式

)n

(h

l )(k(h l )(n 1)f(x x y0 h,y0 l)

k!f(x) x y

0,y0n!f(x0 h,y0 l)k 0

多元函数取极值的必要条件：fx(x0,y0) 0,fy(x0,y0

) 0

多元函数 (1)AC B2 0,A 0,正定,有极小值;A 0,负定,有极大值

取极值的

0,A 0,不定,无极值

(2)AC B2 充分条件 (3)AC B2

0,不能确定

求条件极值，用拉格朗日数乘法

min(或max)z f(x,y) Fx 0 (x,y) 0 ,令F(x,y) f(x,y) (x,y),有

0 F y

(x,y) 0

方向导数 u

u u u l

xcos u ycos u

z

cos 梯度( x,

y,u z) 5