12 由y x 3 x 2 y 0所围成的图形

分别绕x 轴及y 轴旋转 计算所得两个旋转体的体积

解 绕x 轴旋转所得旋转体的体积为 ππππ712871207206202====⎰⎰x dx x dx y V x

绕y 轴旋转所得旋转体的体积为 ⎰⎰-=-⋅⋅=80

32802

23282dy y dy x V y ππππ πππ56453328035=-=y

13 把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形 绕x 轴旋转

计算所得旋转体的体积

解 由对称性 所求旋转体的体积为 dx x a dx y V a a ⎰⎰-==03

323202

)(22ππ 3

023*******

210532)33(2a dx x x a x a a a ππ=-+-=⎰

14 用积分方法证明图中球缺的体积为)3(2H R H V -=π