])(2[61)()(0bA aB AB ab h dy y h b B B y h a A A V h +++=--⋅--=⎰ππ

18 计算底面是半径为R 的圆 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积

解 设过点x 且垂直于x 轴的截面面积为A (x ) 由已知条件知 它是边长为x R -2的等边三角形的面积 其值为 )

(3)(22x R x A -= 所以 3223

34)(3R dx x R V R R =-=⎰- 19 证明 由平面图形0a x b 0y f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为

⎰=b a dx x xf V )(2π

证明 如图 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形

小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2x f (x )dx 这就是体积元素 即

dV 2x f (x )dx

于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为

⎰⎰==b a b a dx x xf dx x xf V )(2)(2ππ

20 利用题19和结论 计算曲线y sin x (0x

)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积