1 1 1 1 (n )， 3 3n 1 3

因而原级数收敛．

（5）由于

1

n(n 1)(n n 1)

n 1 n

11

从而n 时， ，

nn 1nn 1

Sn

1

12

12

1

1n

1n 1

1

1n 1

1，

故原级数收敛．

3．证明定理10.2．

定理10.2 若级数

u, v

nn 1

n 1

n

收敛，则级数

(u

n 1

n

vn)也收敛，且

(u

n 1n

n

vn) un vn.

n 1

n 1

证明 设Sn

u

k 1

n

k

vk，则由已知条件知，存在有限数s,s ，使得 ,Sn

k 1

n

n

lim vk s ， limSn lim uk s,limSn

n

n

k 1

n

n

k 1

设级数

(u

n 1

n

vn)的部分和数列为 n，则

n

n

n

s s (n )， n (uk vk) uk vk Sn Sn

k 1

k 1

k 1

所以

(u

n 1

n

vn)也收敛，且 (un vn) un vn．

n 1

n 1

n 1

4．设级数

u

n 1

n

各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数

U

n 1

n

，即

Un 1 ukn 1 ukn 2 ukn 1,n 0,1,2, ，

其中k0 0,k0 k1 k2 kn kn 1 ，若

n

n

U

n 1

n

收敛，证明原来的级数也收敛．

证明 设Sn

u

k 1

k

, n Uk，则

k 1