第十章 数项级数

§1 级数问题的提出

1．证明：若微分方程xy y xy 0有多项式解

y a0 a1x a2x2 anxn，

则必有ai 0(i 1,2, ,n)．

证明 由多项式解y a0 a1x a2x anx得

2

n

y a1 2a2x 3a3x2 nanxn 1， y 2a2 6a3x 12a4x2 n(n 1)anxn 2.

从而 xy 2a2x 6a3x 12a4x n(n 1)anx且 xy a0x a1x a2x an 2x将上述结果代入微分方程xy y xy 0，得

2

3

n 1

2

3

n 1

，

an 1xn anxn 1.

a1 (a0 4a2)x (a1 9a3)x2 (a2 16a4)x3

(an 2 n2an)xn 1 an 1xn anxn 1 0.

比较系数得递推公式如下：

a1 0,

a0 4a2 0, a1 9a3 0,

a n2a 0,

n n 2

an 1 0,

an 0.

由此解得a0 a1 a2 an 0，因而ai 0(i 0,1,2, ,n)．

2．试确定系数a0,a1, ,an, ，使

a

n 0

n

xn满足勒让德方程

(1 x2)y 2xy l(l 1)y 0.

解 设y

a

n 0

n

x，则y nanx

n

n 1

n 1

，y

n(n 1)a

n 2

n

xn 2，故